探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大教学设计一等奖

第三章、统计案例（十年高考真题节选）

第一部分、正态分布

1、（07浙理5）已知随机变量服从正态分布N(2，A、0.16

B、0.32

C、0.68

2)，P(4)0.84，则P(0)

D、0.84

22、（07全II理14）在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，）（则在（0，2）内取值的概率为

。

3、（08重庆理5）已知随机变量服从正态分布N(3,

(A)20），若在（0，1）内取值的概率为0.4，)，则P(3)＝

(D)1

5

(B)1

4

2

(C)1

31

24、（09安徽理11）若随机变量X～N(,)，则P(X)=________。

C、0.1586

25、（10，广东理7）已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2 ≤X

≤4)=0.6826，则P（X>4）= A、0.1588

B、0.1587

D、0.1585 6、（11湖北理5）已知随机变量服从正态分布N(2,Ａ、0.6

B、0.4

)，且P(4)0.8，则P(02)

D、0.2 元件1元件3元件2C、0.3

7、(12全国新课标理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为___________。

8、（15山东理8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,3)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为

（附：若随机变量服从正态分布N(,2)，则P(22)95.44%）

（A）4.56%

（B）13.59%

（C）27.18%

（D）31.74% 9、（14新课标全国I理18）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图。

(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(II)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2N(,2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2。(i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）内的产品件数，利用（i）的结果，求E(X)。

附：150≈12.2。若Z～N(,2

)，则P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544。

1

第二部分、回归分析基本思想

1、（09宁海理3）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i（i1,2,…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）,2,…，10），得散点图2。由这两个散点图可以判断出

（A）变量x与y正相关，u与v正相关

（B）变量x与y正相关，u与v负相关

（C）变量x与y负相关，u与v正相关

（D）变量x与y负相关，u与v负相关

2、（11陕西理9）设（x1，，（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过y1）最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是

A、x和ylOxy的相关系数为直线l的斜率

B、x和y的相关系数在0到1之间

C、当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D、直线l过点(x,y)

3、（11山东理7）某产品的广告费用x与销售额根据上表可得回归方程y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）

销售额4 49 2 26 3 39 5 54 ˆ为ˆaˆbxˆ中的by9.4，据此模型预报广y（万元）

告费用为6万元是销售额为

A、63.6万元

B、65.5万元

C、67.7万元

D、72.0万元

4、（11江西理6）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1)。r1表示变量Y与X之间的线性相关系数的线性相关系数，r2表示变量U与V之间的线性相关系数的线性相关系数，则

A、r2

B、0

C、r2<0

5、（12湖南理4）设某大学的女生体重

D、r2=r1

y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi,yi)(i1,2,A. ,n)，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是

B.回归直线过样本点的中心(x,y)

y与x具有正的线性相关关系

C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg

6、（14重庆理3）已知变量x与性回归方程可能为

A.

收入x（万元）

支出8.2 6.2 y正相关，且由观测数据算得样本的平均数x3，y3.5，则由观测的数据得到的线y0.4x2.3

B.y2x2.4

8.6 7.5 10.0 8.0

11.3 8.5 C.y2x9.5

11.9 9.8 2

D.y0.3x4.4

y（万元）

7、（15福建理4）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归本线方程ˆ0.76，aˆaˆ。据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支ˆbxˆ，其中bˆybxy出为

（A）11.4万元

（B）11.8万元

（C）12.0万元

（D）12.2万元

8、（07粤理17）(12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据。

x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 （1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bxa；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）

8、（15新课标全国I理19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，年需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z销售（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的/tyi(i1,2,,8)值。

620600580560540520500480343638404244464850525456年宣传费/千元x

46.6 y

563 w

6.8 (xx)ii182

(ww)ii182

(xx)(yy)

iii18(ww)(yy)

iii18289.8 1.6 1469 108.8 18表中wixi，wwi。

8i1yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx。根据（II）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，……，(un,vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（I）根据散点图判断，(uu)(vv)iii1n(uu)ii1n，vu。

2

3

9、（16新课标全国III理18）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图。（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

附注：

参考数据：7yi17i9.32，tyii17i40.17，(yy)ii120.55，72.646。

参考公式：r(tt)(yy)iii1ny量理处化害无圾垃活生年1.801.601.401.201.000.8012345年份代码t67(tt)(yy)2iii1i1nn，回归方2注：年份代码1-7分别对应年份2008-2014程$y$a$bt中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为$b(ti1nit)(yiy)i(ti1n，a$$y$bt。

t)2

第三部分、回归分析的基本思想

1、（11湖南理4）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

附表：

男

女

总计

P(K2k)

0.050 0.010 0.001 40 20 60 爱好

3.841 6.635 10.828 k

20 30 50 不爱好

60 50 110 总计

nadbc110403020202由k算得k27.8。

60506050abcdacbd参照附表，得到的正确结论是

A、再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B、再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D、有99%以上的把握人物“爱好该项运动与性别无关”

4 22

2、

(10，新课标全国理19) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

160 270 不需要

（Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，20.0100.001P(K

k)0.050能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助k3.8416.63510.828的老年人的比例？说明理由。

附：

n(ad-bc2)2K =

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

3、(12辽宁理19)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。将日均收看该体育节目时0.010间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22列0.005102030405060O联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X。若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)。附：。

频率组距0.0250.0220.0200.018分钟n(adbc)2

K(ac)bd)(ab)(cd)2

男

女

合计

P(K2k)

k

0.05 3.841 0.01 6.635 非体育迷

体育迷

10

合计

55

5

3、（10，辽宁理18）为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果。（疱疹面积单位：mm2）

疱疹面积

频数

疱疹面积

频数

[60，65）

30 [60，65）

10 [65，70）

40 [65，70）

25 [70，75）

20 [70，75）

20 [75，80）

10 [75，80）

30 [80，85）

15 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表

（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。

注射药物A

注射药物B

合计

2疱疹面积小于70mm2

a＝

c＝

疱疹面积不小于70mm2

b＝

d＝

合计

n＝

n(adbc)2附：k

(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2k)

k

0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

6