2.基本不等式教案和学案内容

1.2

基本不等式教学设计

山西省柳林县汇丰中学 薛琴琴

一、教学内容分析

《基本不等式》是人教A版选修4-5第一讲第一节的知识内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，在必修5已经学过基本不等式，本节进一步研究基本不等式的应用，注重引导学生从几何角度进行解释，为后面学习三个正数的情形做好铺垫，使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法。另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。

二、教学目标设置

新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程，也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程，根据新课标理念和本课教学要求，制定如下教学目标：

1.知识目标： 1.了解基本不等式的证明过程.会利用基本不等式进行不等式的证明判断.

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

3.理解应用基本不等式求最值时的三个条件“一正、二定、三相等”,掌握基本不等式的变形及应用.

2.能力目标：学生经历基本不等式推导过程，体会“转化”的数学思想和“配凑，数学建模”的数学方法。培养学生严谨规范的学习能力，辩证地分析问题能力，学以致用的能力‘姐姐问题的能力。

3.情感目标：感悟数学的发展过程，学会用数学的眼光观察、分析事物，体会多角度探索、解决问题。培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，激励学生学习的热情，培养学生勇于探索，

三、学生情况分析

授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。认知上，学生已经掌握了不等式的性质，也具备了一定的基本知识，但是如果老师不引导，学生并不能自觉地通过对已有知识的应用，需要老师逐步引导，去激活学生的思维，增强转化应用思想意识。 四、教学策略分析

数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律、总结规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，，采用引导发现法，学生主要采用“探究性学习”。

本课以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与，通过不断探究发现，在师生互动和生生互动中完成基本不等式的应用探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。

五、教学重点难点

教学重点：基本不等式的证明及应用

重点难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧

六、教学过程

问题呈现

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=

-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.

求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求每吨产品平均最低成本

思考一：如何表示平均成本？

思考二：用什么数学知识求平均成本的最小值？

（设计意图：从实际问题入手，用提问的形式，引导学生思考，一方面引发学生好奇心、求知欲，另一方面引入课题，过渡到本节所学内容）

知识回顾

基本不等式

≥

.

（1）基本不等式成立的条件是____________

(2)等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立。

（3）两个平均数：

为a、b的算术平均,

为a、b的几何平均.两个正数的算术平均__________它们的几何平均。

（让学生回顾必修五学过的基本不等式，为本节做好知识准备）

≥

的几何解释

如图,以a+b长的线段AB为直径作圆O,在直径AB上取点E,使AE=a,则EB=b,过点E作CD⊥AB交圆O于点C、D,那么CE=____,而圆的半径为OC=_____,在△OBC中,OC____CE,即

≥

.

（设计意图：对于基本不等式的证明方法比较多，本节只给出几何解释，让学生从几何角度直观认识，加深对不等式的理解，体会数形结合思想，增强学生思考探索能力）

知识应用

1.利用基本不等式求最值

一般地,从基本不等式可以得到下面结论:

已知x>0,y>0,则

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当

时,x+y有最小值

,简记:积定和最小. (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当

时,xy有最大值

,简记:和定积最大.

*应用基本不等式求最值时的三个条件：__________________________ （设计意图：在以前的基础上，这个作为结论来应用，让学生感知“积定和最小、和定积最大”的规律，也为后面的应用做好铺垫，利于学生快速解题和思维发展）

应用一：

下列判断正确的是（）

1A.若xR,且x0,则x2

x

（小组讨论，学生互相纠正）

1B.若a2,则a的最小值为2

a2

1

C.若a2,则a的最小值为2a

1

D.若xR,且x0,则x的最小值为2x

（对基本不等条件的应用，强调在应用的条件“一正二定三相等”，体现数学知识应用的严谨性。让学生小组讨论，互相纠正，加深知识理解）

应用二：

13已知a>0,b>0,且+=1,则a+2b的最小值为

_________

ab（设计意图：体会转化思想，配凑法，也算不等式应用的推广）

2.利用基本不等式解决实际问题

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=

-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.

(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求每吨产品平均最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

（学生黑板演练）

（此题首先需要由实际问题向数学问题转化，建立函数关系式，然后求最值一方面是对本节引入的解释，另一方面让学生体会基本不等式在实际问题中的应用，体现知识的灵活性。）

知识拓展

常用的几个重要不等式（PPT）

（作为课后的知识拓展，注重学生学习习惯的学习能力的培养，增强对知识的探索能力培养）

课堂小结

1.

本节课学到了哪些数学知识？

2.

本节课学到了哪些数学思想和方法？

（全体学生大声读出所学到的知识的思想方法）

设计意图：小结可以锻炼学生的概括能力，语言表达能力，使学生对本节课的知识脉络更加清晰，掌握基本数学思维方法。

课后练习

1.知正数a, b满足a+b=1，求ab的取值范围—

2．x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_______ ;

3．知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为_______

4若x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30.求: (1)xy的取值范围;

(2)x+y的取值范围.

5函数y=x+A.3

-

(x>1)的最小值是(

). B.4 C.5 D.6

6已知等比数列{an}各项均为正数,公比q≠1,设P=小关系是P

Q.

,Q=

.则P与Q的大

7已知x,y都是正数,(1)若3x+2y=12,求xy的最大值;(2)若

+

=1,求x+y的最小值.

（通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。）

板书设计

基本不等式

引入（实力）

基本不等式

≥

条件：一正二定三相等

结论：

积定和最小、和定积最大

例1 例2 练习1 练习2 作业

七、教后反思

1.本节课在必修五和第一节不等式的基础上学习的一节课，通过本节课的教学，培养学生转化，归纳能力，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。

2.基本上可以达到预期效果，但是在学生独立完成例2的演示时，计算慢，用时多，体现是学生计算能力比较弱，应在以后的教学中加强运算能力的培养。