复习参考题教学设计实例

第十六章

数系的扩充与复数的引入

梁宋山

题组1

复数的相关概念

1.[2017全国卷Ⅰ,3,5分][理]设有下面四个命题其中的真命题为

(

) p1:若复数z满足∈R,则z∈R;

p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;

p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;

p4:若复数z∈R,则∈R.

A.p1,p3

B.p1,p4

C.p2,p3

D.p2,p4

2.[2016全国卷Ⅰ,2,5分][理]设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=

(

) A.1

B.

C.

D.2 3.[2016全国卷Ⅱ,1,5分][理]已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是

(

) A.(-3,1)

B.(-1,3)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-3) 4.[2016全国卷Ⅲ,2,5分]若z=4+3i,则=

(

) A.1

B.-1

C.+i D.-i 5.[2015 新课标全国Ⅰ,1,5分][理]设复数z满足=i,则|z|=

(

) A.1

B.

C.

D.2 6.[2015 新课标全国Ⅱ,2,5分][理]若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=

(

)

A.-1

B.0

C.1

D.2 7.[2015 安徽,1,5分][理]设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于

(

) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

8.[2013新课标全国Ⅰ,2,5分][理]若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(

) A.-4

B.-

C.4

D.

9.[2016北京,9,5分][理]设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=

.

,则(a+bi)(a-bi)=

.

10.[2015重庆,11,5分][理]设复数a+bi(a,b∈R)的模为题组2

复数的运算

11.[2017全国卷Ⅱ,1,5分][理]A.1+2i B.1-2i C.2+i =

(

) D.2-i 12.[2016全国卷Ⅲ,2,5分][理]若z=1+2i,则A.1

B.-1 C.i

D.-i =

(

) 13.[2016山东,1,5分][理]若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=

(

) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 14.[2014新课标全国Ⅰ,2,5分][理]A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i =(

) 15.[2014新课标全国Ⅱ,2,5分][理]设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=

(

) D.-4-i A.-5

B.5 C.-4+i

16.[2016天津,9,5分][理]已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为

.

A组基础题

1.[2018安徽省六校第一次联考,2]已知复数z满足:(z-i)(1+2i)=i3(其中i为虚数单位),则复数z的虚部等于

(

) A.-

B.-

C.

D.

2.[2018陕西省西安市长安区第五中学二模,2]已知i为虚数单位,为复数z的共轭复数,若z+2=9-i,则=

A.1+i B.1-i (

) C.3+i D.3-i 3.[2018陕西省部分学校第一学期摸底检测,2]已知复数z满足z(1-i)2=1+i (i为虚数单位),则|z|为

(

) A.

B.

C.

D.1 4.[2018广西三校联考,2]已知=b+i(a,b∈R).其中i为虚数单位,则a-b=

(

) A.-1

B.1

C.2

D.-3 5.[2018广东七校联考,2]如果复数A.-1

B.0

C.0或1 D.0或-1 是纯虚数,那么实数m等于

(

) 6.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,2]已知A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i =1+i(i为虚数单位),则复数z=

(

) 7.[2018河北衡水联考,2]已知i为虚数单位,则下列各式计算错误的是

(

)

A.i2 017=i

B.(i+1)i=-1+i

C.=-i

D.|2+i|=

8.[2017太原市三模,1]已知i是虚数单位,复数z满足标是

(

) =i,则复数z在复平面内对应的点的坐A.(-,) B.(-1,1)

C.(,-) B组提升题

D.(1,-1) 9. [2017南昌市高三三模,1]已知z=m2-1+mi在复平面内对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是

(

) A.(-1,1)

B.(-1,0)

C.(-∞,1)

D.(0,1) 10.[2017成都市三诊,2]已知复数z1=2+6i,z2=-2i.若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=

(

) A.

B.5

C.2

D.2

11.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,2]下面是关于复数z=2-i的四个命题,p1:|z|=5;p2:z2=3-4i;p3:z的共轭复数为-2+i;p4:z的虚部为-1.其中真命题为

(

) A.p2,p3

B.p1,p2

C.p2,p4

D.p3,p4

12.[2017郑州市高三第三次质量预测,2]已知复数m=4-xi,n=3+2i,若∈R,则实数x的值为

(

) A.-6

B.6

C.

D.-

13.[2017洛阳三模,2]欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将复数、指数函数与三角函数联系起来,将指数函数的定义域扩充到复数,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e-2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于

(

) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案

１.B

设复数z=a+bi(a,b∈R),对于p1,∵==∈R,∴b=0,∴z∈R,∴p1是真命题;对于p2,∵z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi∈R,∴ab=0,∴a=0或b=0,∴p2不是真命题;对于p3,设z1=x+yi(x,y∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2=(x+yi)(c+di)=cx-dy+(dx+cy)i∈R,∴dx+cy=0,取z1=1+2i, z2=-1+2i,z1≠,∴p3不是真命题;对于p4,∵z=a+bi∈R,∴b=0,∴=a-bi=a∈R,∴p4是真命题.故选B.

2.B

因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|==,故选B.

3.A

由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m-1),所以-3

解得4.D

==-i,故选D.

5.A

由题意知1+z=i-zi,所以z===i,所以|z|=1.故选A.

6.B

由于(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,所以解得a=0.故选B.

7.B

==-1+i,其在复平面内所对应的点位于第二象限.故选B.

8.D

因为|4+3i|==5,所以已知等式为(3-4i)z=5,即z=====+i,所以复数z的虚部为,故选D.

9.-1

(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,由已知得a+1=0,解得a=-1.

10.3

设z=a+bi,则(a+bi)(a-bi)=z=|z|2=3.

11.D

===2-i,故选D.

12.C

==i.故选C.

13.B

设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.故2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,所以解得所以z=1-2i.故选B.

14.D

===-1-i,故选D.

15.A

由题意可知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.

16.2

(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,所以b=1,a=2,=2.

A组基础题

1.C

z=+i=+i=+i=-+i,故选C.

2.D

设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,z+2=a+bi+2(a-bi)=3a-bi=9-i,∴a=3,b=1,∴=3-i,故选D.

3.B

解法一

因为复数z满足z(1-i)2=1+i,所以z===-+i,所以|z|=,故选B.

解法二

因为复数z满足z(1-i)2=1+i,所以|z|=||==,故选B.

4.D

因为==2-ai=b+i,所以b=2,a=-1,所以a-b=-3.故选D.

5.D

解法一

m=0或-1,故选D.

==,因为此复数为纯虚数,所以解得解法二

设=bi(b∈R且b≠0),则bi(1+mi)=m2+i,即-mb+bi=m2+i,所以解得m=0或-1,故选D.

6.B

z=====-1-i,故选B. 7.C

对于A,i2 017=i504×4+1=i,故A正确;对于B,(i+1)i=-1+i,故B正确;对于C,故C错误;对于D,|2+i|==,故D正确.选C.

===i,8.B

解法一

因为(-1,1),故选B.

=i,所以z===-1+i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标是解法二

因为选B.

Ｂ组提升题

=i,所以z===-1+i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标是(-1,1),故9.D

因为z=m2-1+mi在复平面内对应的点是(m2-1,m),且该点在第二象限,所以得0

解10.A

复数z1=2+6i,z2=-2i,z1,z2在复平面内对应的点分别为A(2,6),B(0,-2),线段AB的中点C(1,2)对应的复数z=1+2i,则|z|==.故选A.

11.C

因为z=2-i,所以|z|=≠5,则命题p1是假命题;z2=(2-i)2=3-4i,所以p2是真命题;易知z的共轭复数为2+i,所以p3是假命题;z的实部为2,虚部为-1,所以p4是真命题.故选C.

12.D

因为===∈R,所以8+3x=0,解得x=-,故选D.

13.B

依题意得,e-2i=cos(-2)+isin(-2)=cos 2-isin 2的共轭复数的实部、虚部分别为cos 2,sin 2,又<2<π,所以cos 2<0,sin 2>0,因此e-2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于第二象限,故选B.