探究与发现 组合数的两个性质课堂实录【1】

课题：组合数的性质

一．教学目标

知识与能力：理解、掌握性质并会使用，培养计算能力

过程与方法：理解、掌握性质的猜想推理过程，培养学生从特殊到一般的猜想推理能力。

情感态度价值观：培养学生的应用意识，提高学习兴趣。

二．学情分析

本节课是学生本节课是学生在学习了组合的定义，组合数公式的基础上学习的，可以用实例来引出问题，引导学生思考，探究，归纳。大多说同学能较好的理解性质，至于掌握性质的熟练应用需要经过训练才可以。

三．教学重点：性质的推理、应用

四．教学难点：性质2的推导理解

五．教学方法：多媒体与学案教学相结合；理论证明与实际理解相结合

六．教学用具：多媒体课件 七．教学过程：

（一）复习旧知

1、

复习

（1）组合定义 （2）组合数的定义 （3）组合数公式

2、计算下列各组组合数的值

4837315⑴ C10 与 C10 ⑵

C12 与 C12 ⑶ C18 与 C18 解：

109810947120,C10120.（1）

32176112111091211548C12495,C12495（2）

432187118171618174315816,C18816

（3）C1832115141（二）导入新授

3思考？

（1）这几组的计算结果有何关系? 3C103748315C10=C10=120 ，C12=C12==495，C18=C18=816

（2）观察式子之间有何特征？

下标相等，上标之和等于下标。

（3）你能模仿写出一组吗？你能根据以上式子特征写出一般规律吗？

298397C100=C100,C100=C100,......

mnm性质1：Cn（板书）

Cn4.探究：对以上你的猜想规律能否进行证明？

方法一：利用组合数公式推导

证明：n!m因为Cn，m!(nm)!

n!n!nmCn(nm)!(nnm)!m!(nm)!mnm所以CnCn 方法二：利用实际应用题理解

高二八班有43人，从中选出5人去参加活动，还剩下38人，每一种选法就对应一种剩538法，这二者是一一对应的关系，因此C43。

=C435.说明：

（1）此规律作为组合数运算性质1，

n0（2）对性质理解，有两点：①m=n时，CnCn1

②当mnmnm时，计算Cn用Cn代替

27186.

例1：计算 （1) C9 =________ ， (2) C20=________ 987899 (3) C100=__________ , (4) C8=_________

C9C10C11解：

9836

212019182C20190

(2)C202110099982C1004950

(3)C10021(1)C97C921112CCCC89105582

891011(4)原式=7.引例：今天下午，我校将举行某庆祝活动，需要从我们高二八班女生中选5名同学去礼仪服务，高二八班女生有15人，请问：

151413121153003

①不同的选法有多少种？C15543211413121141001

②如果某女生甲必须在内，有多少种选法？C144321141312111052002

③如果某女生甲不在内，有多少种选法？C1454321学生活动：学生列式运算，观察计算结果

8.思考？

2

554结果有什么联系？ 能得出什么结论？C15

=C14+C149.探究：1一个口袋里有编号不同的n支钢笔和1个铅笔，

m①从口袋里取出m支笔，有多少种取法？Cn+1

m-1②从口袋里取出m支笔，其中有一支必须是铅笔，有多少种取法？Cn

m③从口袋中取出m支笔，使其中不含铅笔的取法有多少种？Cn

学生活动：学生运算，得出一般性规律。教师置疑规律的正确性

mmm1性质2：Cn（板书）

1CnCn10.探究：证明方法

证明方法一：利用组合数公式运算证明

证明：(n+1)!m左边Cn=+1m!(n+1-m)!n!n!mm-1右边Cn+Cn=+m!(n-m)!(m-1)!(n+1-m)!

n!(n+1-m)+n!m =m!(n+1-m)!(n+1)! =m!(n+1-m)!mmm-1所以Cn+1=Cn+Cn（只说明证法一可用，由于相对证明对多数学生来说有难度，不做课上讲解，作为分层教学内容，要求有能力的学生课下探究）

证明方法二：利用实际例子理解证明

11.说明：（1）此规律为性质2 （2）运算性质的形式分析

45989712.例2：计算（1）

C7=_______ (2) C99=________ C7C992112345 (3) C19=_______ (4) C3=______ C19C3C4C5C6解：

87656

3212019212C19C20190

(2) C1921100999897982C99C100C1004950

(3)C99215C85C83（1）C74C71234552(4)C3C3C4C5C6C7C721

（三）巩固练习

91、计算： C10=___10______ C86 =_____28___

3

916C10=C10=10,C8=C82=28 542、

计算： C84C8 C9C84 5C84C85C9C949876876126,C94C84C8356

4321321473、①

填空：如果Cn，则n = 11 Cnx3x6②

已知：C18,求x的值

C18x3x6解：因为C18C18，所以（I）由x3x6,得x3（II）由x(3x6)=18得x6

（四）小结

1、知识点：组合数的两个运算性质

mnmmmm1性质1：Cn 性质2：Cn

Cn1CnCn2、能力要求：（1）运用性质的计算能力

（2）从特殊到一般的猜想推理能力

（五）作业：

2321971.

计算（1）C6（2）C1315（3）C7-C6（4）C200

2224562.

化简：（1）C3（2）C3C4C117C7C8C9

（六）板书设计

mnm组合数的性质 性质1：Cn Cnmmm1性质2：Cn

1CnCn

4