阅读与思考 生活中的反比例关系PPT配套优秀教学设计内容

反比例函数习题课教学设计

大连格致中学 张琨

教学目标

1.结合具体情景体会反比例函数的意义,理解并掌握反比例函数的概念. 2.能用待定系数法求反比例函数的解析式. 3.会用描点法画反比例函数图象. 4.掌握反比例函数的图象和性质,并能运用相关性质解决有关问题. 5.理解反比例函数中比例系数k的几何意义. 6.能根据实际问题确定变量之间是反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题. 教学过程

1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力. 2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学方法. 3.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识. 4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想. 情感态度与价值观

1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性. 2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯. 3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反比例函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型思想在实际问题中的应用价值. 教学分析

函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.本节课的内容,是在学生已经学习了函数及其图象的初步知识,以及系统地研究了一次函数的概念、图象、性质、简单应用,是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法的基础上进行研究的.反比例函数是一种简单而又重要的函数,作为重要的数学模型,在解决日常生活、物理化学学科学习等实际问题中发挥了重要作用.通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.

本章内容从实际问题情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,通过画特殊的反比例函数的图象,归纳出一般反比例函数的图象特征和性质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分析、归纳总结的能力.对于某些解决实际问题的安排,力图加强反比例函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.数形结合思想贯穿本章内容,函数图象是研究函数性质的直观载体,从图象上直观观察函数的变化规律,整体把握函数的性质,而解析式是对函数性质的无限“解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共同研究函数的性质.

本章重点是反比例函数的概念、图象、性质及应用,难点是反比例函数图象的生成过程,以及函数图象的间断及渐近性特点.根据学生特点,以前面学过的函数为基础,用类比的方法探究本章内容,重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用. 教学重点难点

【重点】

反比例函数的图象与性质,待定系数法求函数解析式,反比例函数与一次函数等函数的综合运用,利用反比例函数解决实际问题.

【难点】

反比例函数与一次函数等函数的综合运用;建立用反比例函数解决实际问题的数学模型. 教学过程

一、反比例函数的定义

一般地,形如y=(k是常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的全体实数,y的取值范围也是不等于0的全体实数,k叫做比例系数,反比例函数还可以写成y=kx-1(k≠0)或xy=k(k≠0)的形式. 二、待定系数法确定反比例函数解析式

反比例函数y=(k≠0)中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知反比例函数图象上一点坐标,即可确定反比例函数解析式.

其一般步骤为: (1)设反比例函数解析式为y=(k≠0);

(2)把已知条件(自变量和函数的对应值或函数图象上一点的坐标)代入解析式,得到关于k的方程; (3)解方程,求出待定系数k的值; (4)将待定系数k的值代回所设的函数解析式中,即得所求的函数解析式. 三、反比例函数y=(k≠0)的图象和性质

反比例函数y=的图象是双曲线.

当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.

反比例函数图象在每个象限内无限延伸,但与两个坐标轴没有交点. 四、反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义

过双曲线上任意一点,向x轴、y轴作垂线,则这一点与两垂足、两坐标轴围成的矩形的面积S=|k|;

过双曲线上任意一点,向x轴或y轴作垂线,则这一点与垂足、坐标原点的连线围成的三角形的面积S△=|k|. 五、反比例函数在实际问题中的应用

反比例函数在实际生活中有着广泛的应用,应用反比例函数解决实际问题的关键是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题中的反比例函数.生活中常见的实际问题里蕴含的反比例函数: (1)路程一定时,速度和时间的关系. (2)工作量一定时,工作效率与工作时间之间的关系. (3)柱体体积一定时,底面积与高的关系. (4)电学中,电压一定时电流和电阻的关系. (5)杠杆原理中阻力和阻力臂、动力和动力臂的关系. (6)压力一定时,压强和受力面积的关系. 专题一

反比例函数y=(k≠0)的概念

【专题分析】

反比例函数y=(k≠0)等号右边是分式形式,分母是x的单项式,反比例函数一共有三种形式:y=(k≠0),xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0),根据反比例函数的三种形式可以判断一个函数是不是反比例函数,或求反比例函数解析式中字母的值. 例1：若函数y=(m+1)是反比例函数,则m的值是 .

〔解析〕

根据反比例函数概念y=kx-1(k≠0)可得解得即m=1,则m的值是1.故填1. [规律方法] 判断一个函数是不是反比例函数,首先观察是否符合y=或xy= k(k为常数,k≠0)的形式.若待定系数出现在y=或xy=k中,则满足k≠0,且x的指数是1;若待定系数出现在y=kx-1中,则满足k≠0,且x的指数是-1.

【针对训练1】

下面的函数是反比例函数的是 ( ) A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y= D.y=

〔解析〕 A是一次函数;B是二次函数;C是正比例函数;D符合反比例函数定义.故选D.

【针对训练2】

若函数y=(m-2)x|m|-3是反比例函数,则m的值是 .

〔解析〕

根据题意可得解得所以m=-2,则m的值是-2.故填-2. [易错提示] 反比例函数概念中易忽略考虑比例系数k≠0.

专题二

反比例函数y=(k≠0)图象与性质

【专题分析】

反比例函数图象和性质是本章的重点,也是中考考查的重要知识点之一,反比例函数图象的位置及增减性由比例系数k的符号决定,反过来,由反比例函数图象的位置及增减性也可以判断k的符号. 例2：

已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数y=的图象上,试确定y1,y2,y3的大小关系.

〔解析〕

因为y=是反比例函数,且无论k为何值时,-k2-1<0,所以图象在第二、四象限,且在每个象限内y随x的增大而增大,并且第二象限的y值大于第四象限的y值.因为点(-1,y1)在第二象限,点(2,y2),(3,y3)在第四象限,所以y1最大,y2最小.

解:∵-k2-1<0,∴图象在第二、四象限,且在每个象限内y随x的增大而增大,

∵点(-1,y1)在第二象限,

∴y1>0,∵点(2,y2),(3,y3)在第四象限,

且2<3,∴y2

∴y2

【针对训练3】

设A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=-图象上的任意两点,且y1x2>0 B.x1<0

〔解析〕

画出函数y=-的图象,然后在图象上找出两点(x1,y1),(x2,y2),使其满足y1

【针对训练4】

已知反比例函数y=的图象如图所示,点A(-1,b1),B(-2,b2)是该图象上的两点.

(1)求m的取值范围; (2)比较b1与b2的大小.

〔解析〕 (1)观察函数图象在第一、三象限内,则2m-1>0,解得m的值;(2)观察图象,根据函数的增减性可得b1与b2的大小.

解:(1)∵反比例函数的图象在第一、三象限,

∴2m-1>0,即m>. (2)反比例函数的图象在第一、三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小,

∵-2<-1<0,∴b2>b1. 专题三

反比例函数中比例系数k的几何意义

【专题分析】

反比例函数中比例系数k的几何意义是各地区中考考查的重要知识点之一,和反比例函数有关的面积计算题目常常与比例系数k的几何意义紧密联系,直接求解或用割补法通过转化为和比例系数有关的图形面积求解. 例3：

如图所示,函数y=-x与函数y=-的图象相交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D.则四边形ACBD的面积为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8

〔解析〕

根据比例系数k的几何意义,得S△AOC=S△ODB=|k|=2,再根据反比例函数的对称性可知:OC=OD,AC=BD,∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2,∴四边形ACBD的面积为S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8.故选D. [规律方法] 掌握反比例函数中比例系数k的几何意义,即在反比例函数y=(k≠0)的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成

的矩形的面积是定值|k|.连接原点和这个点,所得的两个直角三角形的面积分别为|k|.

【针对训练5】

函数y=和y=-的图象分别是l1和l2.设点P在l1上且点P在第一象限,PC⊥x轴,垂足为C,交l2于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB的面积为 .

〔解析〕

∵点P在y=上,∴|xp|×|yp|=|k|=1,∴设点P的坐标是(a为正数),∵PA⊥x轴,∴A的横坐标是a,∵点A在y=-的图象上,∴A的坐标是,∵PB⊥y轴,∴点B的纵坐标是,∵点B在y=-的图象上,∴代入得=-,解得x=-3a,∴点B的坐标是,∴PA==,PB=|a-(-3a)|=4a,∵PA⊥x轴,PB⊥y轴,x轴⊥y轴,∴PA⊥PB,∴△PAB的面积是PA×PB=××4a=8.故填8. 专题四

反比例函数与一次函数的综合运用

【专题分析】

主要考查反比例函数与一次函数的概念、图象、性质,及待定系数法求函数解析式,根据函数图象确定比例系数或变量的取值范围. 例4：

如图所示,直线y=mx与双曲线y=相交于A,B两点,A点的坐标为(1,2). (1)求反比例函数的表达式; (2)根据图象直接写出当mx>时,x的取值范围; (3)计算线段AB的长.

〔解析〕 (1)把点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案;(2)求出直线的解析式,解组成的方程组求出B的坐标,根据点A,B的坐标结合图象即可得出答案;(3)根据点A,B的坐标,利用勾股定理分别求出OA,OB,即可得出答案.

解:(1)把A(1,2)代入y=得k=2,即反比例函数的表达式是y=. (2)把A(1,2)代入y=mx得m=2,即直线的解析式是y=2x,

解方程组

得出B点的坐标是(-1,-2),

∴当mx>时,x的取值范围是-11. (3)过点A作AC⊥x轴于C,

∵A(1,2),∴AC=2,OC=1,

由勾股定理,得AO==,

∴AB=2OA=2. [解题策略] 先用待定系数法求函数解析式,然后联立反比例函数与一次函数解析式组成方程组,方程组的解就是两个函数图象的交点坐标.数形结合思想是解决函数图象问题常用的方法.

【针对训练6】

(2015·上海中考)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=x的图象经过点A,点A的纵坐标为4,反比例函数y=的图象的一支经过点A,第一象限内的点B在这个反比例函数的图象的一支上,过点B作BC∥x轴,交y轴于点C,且AC=AB. (1)求这个反比例函数的解析式; (2)求直线AB的表达式.

〔解析〕 (1)将点A的纵坐标代入正比例函数解析式,可得点A的横坐标,把点A 的坐标代入反比例函数解析式,可得m的值,从而可得反比例函数解析式;(2)设点B的横坐标为a,则点B的纵坐标为,由BC∥x轴,得点C的坐标,又AC=AB,列方程可得a的值,将点A,B的坐标代入y=kx+b,可得AB的解析式.

解:(1)∵y=x的图象经过点A,点A的纵坐标为4,∴点A(3,4).

∵y=的图象的一支也经过点A,∴m=12,

∴反比例函数的解析式为y=. (2)设点B坐标为,

∵BC∥x轴,∴点C的坐标为,

∵AC=AB,∴3=a-3,解得a=6,

∴点B的坐标为(6,2),

设直线AB的表达式为y=kx+b,

把点(3,4),(6,2)代入y=kx+b,

得解得

∴直线AB的解析式为y=-x+6.

【针对训练7】

如图所示,Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=-x+(k+1)在第四象限内的交点,AB⊥x轴于点B,且S△ABO=. (1)分别求这两个函数解析式; (2)求直线与双曲线的两个交点A,C的坐标和△AOC的面积; (3)根据图象直接写出-x+(k+1)-<0时x的取值范围.

〔解析〕 (1)根据反比例函数中比例系数k的几何意义可得S△ABO=|k|=,由函数图象在第二、四象限可得k=-3.(2)联立反比例函数和一次函数解析式组成方程组,可解得交点A,C的坐标,设直线与x轴的交点为D,求出点D坐标,用割补法求出△AOC的面积.(3)观察函数图象,直线在双曲线下方部分对应的x的值,即为所求的x的取值范围.

解:(1)∵S△ABO=,∴|k|=2×=3,

由于反比例函数的图象位于第二、四象限,

∴k=-3,

∴反比例函数解析式为y=-,

一次函数解析式为y=-x-3+1,即y=-x-2. (2)将反比例函数解析式y=-和一次函数解析式y=-x-2组成方程组,得: 解得

所以直线和双曲线的交点坐标为A(1,-3),C(-3,1).

如图所示,令y=0,则有-x-2=0,

解得x=-2,故D点坐标为(-2,0).

S△AOC=S△DOC+S△AOD=×2×1+×2×3=1+3=4.

(3)由图象可得-31. [解题策略] 此类题先利用图象确定k的符号,由k的几何意义求出k的值,再利用图象相交联立方程得方程组,求出两函数图象交点坐标,在求面积时常利用割补法求解.最后用数形结合思想求出和函数解析式有关的不等式的解集. 专题五

反比例函数的实际应用

【专题分析】

生产或生活中许多问题与反比例函数有关,根据题意建立函数模型,转化为数学问题,由实际问题中的数量关系建立反比例函数关系式,再用反比例函数的性质来解决该问题. 例5：

工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料烧到800 ℃,然后停止煅烧进行锻造操作,经过8 min时,材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;锻造时温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图所示).已知该材料初始温度是32 ℃.

(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围; (2)根据工艺要求,当材料温度低于480 ℃时,需停止操作,那么锻造的操作时间有多长?

〔解析〕 (1)首先根据题意,材料煅烧时,温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行锻造操作时,温度y与时间x成反比例函数关系.将题中数据代入,用待定系数法可得两个函数的关系式;(2)把y=480代入反比例函数关系式中,进一步求解可得答案.

解:(1)停止加热时,设y=(k≠0),

由题意得600=,解得k=4800,

当y=800时,=800,解得x=6,

∴点B的坐标为(6,800).

材料煅烧时,设y=ax+32(a≠0),

由题意得800=6a+32,解得a=128,

∴材料煅烧时,y与x的函数关系式为y=128x+32(0≤x≤6).

∴停止加热进行锻造操作时y与x的函数关系式为y=(x>6). (2)把y=480代入y=,得x=10,

故从开始加热到停止操作,共经历了10 min,

∵10-6=4(min),

∴锻造的操作时间为4 min. [解题策略] 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用,在解决有关函数问题时起着重要的作用.

【针对训练8】

如图所示,奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后,沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递.动点T(m,n)表示火炬位置,火炬从离中山路10米处的点M开始传递,到离中山路1000米的N点时传递活动结束.迎圣火临时指挥部设在坐标原点O(中山路与胜利路的十字路口),OATB为少先队员鲜花方阵,方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米(路线宽度均不计). (1)求图中反比例函数的解析式(不需写出自变量的取值范围); (2)当鲜花方阵的周长为500米时,确定此时火炬的位置(用坐标表示); (3)设t=m-n,用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离;当火炬离指挥部最近时,确定此时火炬的位置(用坐标表示).

〔解析〕 (1)根据反比例函数中比例系数的几何意义,可得比例系数k=S鲜花方阵=10000;(2)由题意知鲜花方阵的长为m米,则宽为(250-m)米,由题意得m(250-m)=10000,进而求出m的值,从而可得火炬的坐标;(3)连接TO,根据勾股定理求出TO的长,则t=0即m=n时距离最小,根据mn=10000可得m,n的值.

解:(1)设反比例函数为y=(k>0),

则k=xy=mn=S矩形OATB=10000,

∴所求的反比例函数解析式为y=. (2)由题意知鲜花方阵的长为m米,则宽为(250-m)米,

由题意得m(250-m)=10000,

即m2-250m+10000=0,

解得m=50或m=200,均满足题意,

∴此时火炬的坐标为(50,200)或(200,50). (3)连接TO,∵mn=10000,∴在Rt△TAO中,TO====,

∴当t=0时,TO最小,

∵t=m-n,

∴此时m=n,

又mn=10000,m>0,n>0,

∴m=n=100,且10<100<1000,

∴T(100,100).