平方根教学设计及说课稿

2.2.1

平方根

教学目标

知识与技能：1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根.

过程与方法：在合作交流等活动中,培养合作精神和创新精神.

情感态度与价值观：积极参与教学活动,发展对数学的好奇心和求知欲.

教学重难点

重点：算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个数的算术平方根.

难点：对算术平方根的概念和性质的理解.

教学准备

教师准备：挂图、多媒体课件.

学生准备：复习无理数的概念.

教学过程

一：导入新课

[过渡语]

知道无理数的存在,上节给出的问题我们需要解决了.

导入一:上节课学习了无理数,了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数.比如上一节课我们做过的:由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的大的正方形,那么有a2=2,a=

,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过:若x2=a,则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课我们一起来学习. 导入二:前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结合图形完

成填空:x2=

,y2=

,z2=

,w2=

.

[设计意图]导入一和导入二都是带着问题进入到这节课的学习,让学生体会到学***方根的必要性.能表示x2=2,y2=3,z2=4,w2=5;能求得z=2,但不能求得x,y,w的值.

【说明】导入一是由上节课“数怎么又不够用了”的例子,起到了承前启后的作用,导入二是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用,说明学习这节课的必要性.相对而言,建议选用导入二.

二：构建新知

[过渡语]

有上一章的勾股定理,我们得到x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,如何求出x,y,z,w是现在所需要考虑的.

一、情境引出新概念

思路一:x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,已知幂和指数,求底数x,y,z,w,你能求出来吗? 思路二:在七年级学习有理数的乘方时,知道自然数的平方,比如12=1,22=4,32=9,…,但是,你能找到哪个数的平方是2吗?哪个数的平方是3吗?哪个数的平方是5吗?那你能估计一下吗? [设计意图]

让学生体验概念形成过程,感受到概念引入的必要性.学生可以估算出x,y是1到2之间的数,w是2到3之间的数,但无法表示x,y,w,从而激发学生继续往下学习的兴趣,进而引入新的运算——开方.

【说明】

无论是导入一,还是导入二,都会激发学生继续往下学习的兴趣,都可以提出同样的问题“已知幂和指数,求底数,你能求出来吗?” 二、在上面思考的基础上,明晰概念

一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记作

,读作“根号a”.

特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即

=0.

[设计意图]

对算术平方根概念的认识,了解算术平方根的概念,知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的.

三、例题讲解

例1：求下列各数的算术平方根.

(1) 900;

(2) 1;

(3);

(4) 14.

〔解析〕体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是

.

解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即

=30.

(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即

=1.

(3)因为

,所以

的算术平方根是, 即

.

(4)14的算术平方根是

.

[设计意图]

通过对例题的解答,加深学生对算术平方根概念的理解,会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,负数没有算术平

方根.体验求一个正数算术平方根的过程,并为下面的实验应用奠定良好的基础.

例2：自由下落物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s=4.9t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间?

〔解析〕用算术平方根的知识解决实际问题.利用等式的性质将s=4.9t2进行变形,再用求算术平方根的方法求得题目的解.

解:将s=19.6代入公式s=4.9t2, 得t2=4,所以t=

=2(s).

即铁球到达地面需要2 s.

【说明】

强调实际问题t是正数,用的是算术平方根,此题是为得出下面的结论做铺垫的.观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.

[设计意图]

让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:

中的a是一个非负数,a的算术平方根

也是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质——双重非负性.再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根.

[知识拓展]

算术平方根有如下性质: (1)一个正数a有一个算术平方根,就是

.

(2)0有一个算术平方根,就是0.

(3)负数没有算术平方根.

(4)

只要有意义,就表示一个非负数,即

≥0.

(5)

中的a是一个非负数,即a≥0.

三、课堂小结

1.算术平方根的概念,式子

中的双重非负性:一是a≥0,二是

≥0.

2.算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.

3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.

四、课堂练习

1.若一个数的算术平方根是

,那么这个数是

. 答案:7 2.

的算术平方根是

. 答案:

3.

的算术平方根是

. 答案:

4.若

=2,则(m+2)2=

.

解析:本题考查算术平方根的定义,掌握表示方法和实质是关键.故填16.

5.求下列各数的算术平方根.

36, ,15,0.64,10,

,

.

-4

解:

=6,

,

=1.

,

,

=0.8,

-

=10-2,

6.如图所示,从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷.若绳子的长度为5.5米,地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米,则帐篷支撑竿的高是多少米?

解:由题意得

AC=5.5米,BC=4.5米,∠ABC=90°,在RtΔABC中,由勾股定理得AB=

-

-

(米).所以帐篷支撑竿的高是

米.

五、板书设计

2.2.1

平方根

1.情境引出新概念.

2.在上面思考的基础上,明晰概念.

3.例题讲解.

六、布置作业

一、教材作业

【必做题】教材随堂练习第1,3题.

【选做题】教材习题2.3第3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】1.填空.(1)81的算术平方根是

.

(2)0.1是

的算术平方根.

(3)一个正方形的面积变为原来的4倍,它的边长变为原来的

倍.

(4)一个正方形的面积变为原来的9倍,它的边长变为原来的

倍.

(5)一个圆的面积变为原来的n倍, 它的半径变为原来的

倍.

2.求下列各数的算术平方根.

1.96

106

121 【能力提升】3.

的算术平方根

,若5是a+1的算术平方根,则a=

.

4.一个数的算术平方根等于它本身的2倍,这个数是

.

5.x为何值时,

-有意义?

【拓展探究】6.已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是

(

) A.a+1

B.

C.a2+1 D.

7.求一个正数的算术平方根,有些数可以直接求得,如

,有些数则不能直接求得,如

,但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系,运用规律求得,请同学们观察下表: 0.10.00116016000n 16 …

6 6 0 0

4 0.4 0.04 40 400 …

(1)表中所给的信息中,你能发现什么规律?(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律,探究下列问题.

已知

≈1.435,求下列各数的算术平方根:①0.0206;②206;③20600.

【答案与解析】

1.(1)9

(2)0.01

(3)2

(4)3

(5)

(解析:设现在圆的半径为R,原来圆的半径为r,则πR2=nπr2,所以R=

r.) 2.解:

=1.4,

,

=11.

3.2

24(解析:

=4,

=2;52=a+1,a=24.)

4.0或4(解析:设这个数为x,则

=2x,所以x=4x2,解得x=0或x=4.) 5.解:由题意得-≥0,所以x≤0.

6.D(解析:一个自然数的算术平方根是a,这个自然数是a2,故该自然数的下一个自然数是a2+1,其算术平方根是

.) 7.解析:(1)从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答.(2)根据(1)中的规律解答即可.解:(1)被开方数扩大或缩小102n倍,非负数的算术平方根就相应地扩大或缩小10n倍;或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位,算术平方根的小数点就向左或向右移动n位. (2)①

=0.1435.②

=14.35.③

=143.5.

教学反思

本节课通过勾股定理和七年级学过的有理数的平方引入,在学生已有知识的基础上,引入新概念、算术平方根的本质特征.通过练习,可以使学生掌握和理解.

由于学生是第一次接触算术平方根,时间短,可能有的学生不能真正地理解和掌握,或者不能掌握实质,给以后的学习带来很多麻烦.

在教学中,根据学生的实际情况,在学有余力的情况下,可以对

的双重非负性的知识进行适当的拓展.

教材习题答案

随堂练习(教材第27页)

,

,

=0.9,

-

1.解:

=6,

.

2.解:AB=

.

3.解:AB=

-

-

=4.8(m).

习题2.3(教材第27页) 1.解:(1)

=7. (2)

. (3)

=0.3. (4)-

=-8.

2.解:它们的算术平方根依次是11,,1.4,103.

3.解:每块地砖的边长是

=0.3(m).

4.解:设原正方形的边长为a,变化后的正方形的边长为x.①x2=4a2,所以x=2a(负值舍),故边长变为原来的2倍.②x2=9a2,所以x=3a(负值舍),故边长变为原来的3倍.③x2=100a2,所以x=10a(负值舍),故边长变为原来的10倍.④x2=na2,所以x=

a(负值舍),故边长变为原来的

倍.

素材

例题：求下列各数的算术平方根.

(1)

;

(2)104; (3)

- ;

(4)(3-π)2.

〔解析〕

前三个是以不同形式给出的几个数,必须先化简,如(1)中

=4,(2)中104=10000,(3)中|-169|=169,然后求它们的平方根,(4)题要特别注意判断π与3的大小.

解:(1)因为

=4,所以

的算术平方根是2.

(2)因为104=10000,所以104的算术平方根为100.

(3)因为|-169|=169,所以|-169|的算术平方根为13.

(4)因为π>3,所以π-3>0,所以(3-π)2的算术平方根为π-3.

[解题策略]

出现求类似(3-π)2形式的数的算术平方根时,注意判断括号内数的正负.求一个式子的算术平方根时,应先求出这个式子的值,再求这个值的算术平方根.