小结教学设计案例

《不等式》复习小结

教学目标

1、总结本章不等式的知识和思想，形成系统；

2、体会现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，不等式是数学研究的重要内容；

3、进一步了解不等式（组）的实际背景，了解不等式一些基本的性质，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题；

4、体会不等式、方程及函数之间的联系；

5、能熟练运用不等式的思想方法解决有关应用问题.

教学重难点

1、重点：梳理总结本章不等式的知识和系统，形成系统. 2、难点：能熟练运用不等式的思想方法解决有关应用问题.

教学过程

课前导入：不等关系在现实世界、在我们的日常生活中大量存在。你能举出一些例子吗？

事实上，任何人都需要对发生在我们周围的事物做出某种判断，判断有时需要借助于量与量的比较来实现，这充分说明了不等关系的重要地位和作用，而完成量与量比较的过程往往就是建立不等式的过程。所以我们需要学习一些不等式的基本知识，接下来我们将不等式这一章的内容做个小结。

一、本章知识结构

二、知识梳理

1、不等关系与不等式

在数学中，用不等式表示不等关系

（1）不等式的基本概念

①

不等（等）号的定义：ab0ab

ab0ab

ab0ab

②

不等式的分类：绝对值不等式，条件不等式，矛盾不等式

③

同向不等式与异向不等式

④

同解不等式与不等式的同解变形

（2）不等式的基本性质

①

（反对称性）abba

②

（传递性）ab，bcac

③

（加法单调性）abacbc

④

（乘法单调性）ab,c0acbc

ab,c0acbc

⑤

（同向不等式相加）ab,cdacbd

⑥

（同向不等式相乘）ab0,cd0acbd0

⑦

（平方法则） ab0anbn0(nN,n1)

⑧

（开方法则） ab0nanb0(nN,n2)

⑨

（倒数法则） ab,ab0

11

ab2.一元二次不等式及其解法

（1）定义

（2）解法

（3）一元二次方程的根、一元二次函数的图象、一元二次不等式的解集间的关系

二次项的系数满足a0的情况

一元二次方程axbxc0

二次函数yax2bxc

20

0

0

x1

x2

x

x1

x

x

一元二次不等式axbxc0

一元二次不等式axbxc0

一元二次不等式axbxc0

一元二次不等式axbxc0

2222（4）一元二次不等式在实数集上恒成立的问题（a0）

对应图像

不等式

ax2bxc0

a0

x

0

x

axbxc0

2

a0

0

（5）一元二次方程根的分布问题

（6）分式不等式

解分式不等式切忌去分母，一律移项通分化为变形为整式不等式：

f(x)f(x)0(或0)的形式，进一步同解g(x)g(x)f(x)f(x)

0f(x)g(x)0； 0f(x)g(x)0或f(x)0、g(x)0；g(x)g(x)f(x)f(x)

0f(x)g(x)0；0f(x)g(x)0或f(x)0、g(x)0；g(x)g(x)

（7）高次不等式

3、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

（1）定义

（2）解集

在平面直角坐标系中，已知直线AxByC0，坐标平面内的点P(x0,y0).

B0

AxByC0

AxByC0表示直线AxByC0上方的区域. Ax0By0C0

AxByC0

Ax0By0C0，则点P（x0,y0）在直线的上方. AxByC0表示直线AxByC0下方的区域. Ax0By0C0

Ax0By0C0，则点P（x0,y0）在直线的下方. 对于任意的二元一次不等式AxByC0（或AxByC0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.

（3）线性规划

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. A1xB1yC10(或0)AxByC0(或0)222例如，zaxby，其中x,y满足下列条件：，求AnxBnyCn0(或0)这就是线性规划问题，不等式组是一对变量x,y的线性约束条件，z的最大值和最小值，zaxby叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域），使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.

线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：

①

根据题意，设出变量x,y；

②

找出线性约束条件；

③

确定线性目标函数zf(x,y)；

④

画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；

⑤

利用线性目标函数作平行直线系f(x,y)t（t为参数）；

⑥

观察图形，找到直线f(x,y)t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.

4、基本不等式

（1）重要不等式 a2b22ab（a，bR）

（2）基本不等式

若a,b0，则（3）变形

①

若a,b0，则ab2ab（当且仅当ab时取等号），此变形适用于积ab为定值时，求和ab的最小值；具体可作如下解释：若abp（正常数），当且仅当abab（当且仅当ab时取等号）

2abp时，ab取最小值2p. ab2)（当且仅当ab时取等号），此变形适用于和ab2为定值时，求积ab的取最大值；具体可作如下解释：若abS（正常数），当且仅当②

若a,b0，则ab(SS2ab时，ab取最大值. 24a2b2ab2()ab（当且仅当③

若a,bR，则ab2|ab|2ab，2222ab时取等号），此变形中特别注意a、b的符号没有限制；

1④

对a0,有a2（当且仅当a1时取等号）. aab⑤

若a,b0，则2（当且仅当ab时取等号）

baabab⑥

若a,b0，112ab三、典例分析：

2a2b2（当且仅当ab时取等号）. 21、设M2a(a2)，N(a1)(a3)，则M

N

2、比较5112与的大小

12537abba3、已知ab0，比较ab

ab

4、已知集合Ax|x2x60，Bx|x22x80，求AB

5、已知关于x的不等式：(a1)x31

x1（1）当a1时，解该不等式；

（2）当a0时，解该不等式. 6、当x(1，2)时，不等式xmx40恒成立，则m的取值范围是

7、某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？

22xy208、已知x2y40，当x，y取何值时，x2y2取得最大值、最小值？最大值、最3xy30小值各是多少？

9、在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？

10、在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？

11、设OA(1，-2)，OB(a，-1)，OC(b，0)，a0，b0，O为坐标原点，若A,12的最小值为

ab(x5)(x2)12、若x1，则f(x)的最小值为

x1B，C三点共线，则