小结ppt配套教案和课堂实录

7.4 基本不等式及其应用

惠东高级中学

肖洪

【考纲解读】

了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

【考情分析】

利用基本不等式求最值是命题热点；客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用；各种题型都有，难度中、低档。

【考点梳理】

1.如果a0，b0，那么

叫做这两个正数的算术平均数。

2.如果a0，b0，那么

叫做这两个正数的几何平均数。

3.重要不等式：a,bR，,则a2b2

，（当且仅当ab时取等号）。

4.基本不等式：a0，b0，则

，当且仅当ab时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

a0，b0，ab

，a2b2有

，5.求最小值：当ab为定值时，即ab

，

a2b2

。简记为：积定和最小。

a0，b0，ab有最大值，6.求最大值：当ab为定值时，即

，亦即

；

22或ab为定值时，ab有最大值a0,b0，即

。简记为：和定积最大。

【自查自纠】

1.ababab

5.最小值

2ab

2ab

2.ab

3.2ab

4.222a2b21ab26.ab



abab

ab422【基础自测】

1.已知a,bR，且ab1，则ab的最大值为（

）

A.1

B.112

C.

D.

4221x2在xa处取最小值，则a等于（

）

x22.（2016•湖南模拟）若函数fxx

A.12

B.13

C.3

D.4

3.设fxlnx，0ab，若pf1abab，qf，rfafb，则下22列关系式中正确的是（

）

A.qrp

B.qrp

C.prq

D.prq

4.（2014•上海）若实数x，y满足xy1，则x2y的最小值为

。

1 22

5.（2016•鄂州一模）已知x0，则【例题解析】

x的最大值为

。

x24一、利用基本不等式证明不等式

【例题1】已知a0，b0，c0，且abc1。

111求证：9。

abc

【变式1】已知a,b0,且ab1，

求证：（1）

1121112216ab；（2）；（3）119

a2b2ab2ab【点拨】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。

二、利用基本不等式求最值

【例题2】（1）已知x0，y0，且2xy1，则（2）已知x3，则fx11的最小值为

xy4x的最大值为

x3（3）0x4，则fxx4x的最大值为

（4）函数yx5x2x1x1的值域为

9的最小值为

2sinx114的最小值为

ab2（5）xR，则f(x)sinx1【变式2】

（1）（2011•重庆）已知a0，b0，ab2，则y（2）若0x4，则f(x)x(43x)的最大值为

312（3）（2015•湖南）若实数a，b满足ab，则ab的最小值为（

）

abA.2

B.2

C.22

D.4

（4）已知x0，y0，且2x8yxy0，求：

（Ⅰ）xy的最小值；

（Ⅱ）xy的最小值。

2

【点拨】基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形（拆补）、配凑、常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值。

三、利用基本不等式求参数范围

【例题3】（2015•宁夏模拟）已知a0，b0，若不等式的最大值为（

）

A.4

B.16

C.9

D.3

【变式3】

m310恒成立，则m3ababxa恒成立，则a的取值范围为

2x3x1（Ⅱ）（2013·宿州月考）已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实（Ⅰ）（山东高考）若对任意的x0，数m的最大值是__________．

【点拨】一般的，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离后求函数的最值。另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：（1）afx恒成立afxmax；

（2）afx恒成立afxmin；（3）afx有解afxmin

（4）afx有解afxmax

【本课小结】

1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：

2a＋b2a2＋b2（a＋b）a2＋b212222①a＋b≥；②ab≤；③ab≤

(a＋b)；④≤；⑤(a＋b)22422≥4ab；⑥ab≥；⑦11＋2a＋b＋c3≥abc；⑧abc≤3a3＋b3＋c33等．

ab对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．

2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．

3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．

4．求11型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本ab不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．

5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．

3

【强化练习】

1．设a,bR，且ab3，则22的最小值是（

）

A．6

B．42

C．22

D．26

2．下列不等式中恒成立的是（

）

A．

abx2214x242

B．x2

C．2

D．23x2

xxx22x25B．当x0时,x12

x3．下列结论正确的是（

）

A．当x0且x1时,lgx12

lgxC．当x2时,x11的最小值为2

D．当0x2时,x无最大值

xx4．若x,y是正实数，

则(xy)(1x4)的最小值为（

）

yA．6

B．

9

C．

12

D．

15 5．若正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是（

）

A．[9,)

Ｂ．[6,)

C．(0,9]

D．(0,6)

【课后作业】

完成《核按钮•课时作业》P51第1---10题

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