小结优秀教学设计内容

学习目标

1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值.

知识点一

“三个二次”之间的关系

思考

所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点. 解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化. 知识点二

规划问题

思考1

简述规划问题的求解步骤. 答案

(1)把问题要求转化为约束条件；

(2)根据约束条件作出可行域；

(3)对目标函数变形并解释其几何意义；

(4)移动目标函数寻找最优解；

(5)解相关方程组求出最优解. 思考2

关注非线性：

(1)如何确定非线性约束条件表示的平面区域？

(2)常见的非线性目标函数有哪些？如何解释其几何意义？

答案

(1)可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域. y－b(2)的几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率，x－a2＋y－b2的几x－a何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离等. 知识点三

基本不等式

思考

比较一下利用基本不等式证明不等式和求最值的区别.

答案

利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件. 利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.

类型一

“三个二次”之间的关系

例1

设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围. 解

M⊆[1,4]有两种情况：

其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围. 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，

对方程x2－2ax＋a＋2＝0有Δ＝(－2a)2－4(a＋2) ＝4(a2－a－2)，

(1)当Δ<0时，－1

(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；

当a＝－1时，M＝{－1}[1,4]，不满足题意；

当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]，满足题意. (3)当Δ>0时，a<－1或a>2. 设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1

那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1

10.a<－1或a>2，a≤3，

18解得2

718综上可知，M⊆[1,4]时，a的取值范围是(－1，]. 7反思与感悟

(1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x10

(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想. 跟踪训练1

若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________. 答案

2

解析

因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，

所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，

m>1，6⇒1＋m＝a，1·m＝a，

m＝2，⇒

a＝2.

类型二

规划问题

x－4y≤－3，例2

已知变量x，y满足3x＋5y≤25，x≥1，

求z＝2x＋y的最大值和最小值. 解

如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域.

设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小. 作一族与l0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l移动到l2，即过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.

反思与感悟

(1)因为寻找最优解与可行域的外界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小. 跟踪训练2

某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小. 解

设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，

x＋2y≥4，由题意可得x≥0，y≥0，x，y∈N.2x＋y≥5，

所用原料的总面积为z＝3x＋2y，

作出可行域如图阴影部分(含边界).

在一族平行直线3x＋2y＝z中，

经过可行域内的点A时，z取得最小值，

直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，

即最优解为(2,1). 所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小. 类型三

利用基本不等式求最值

50x例3

设f(x)＝2. x＋1(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；

(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值. 1解

(1)当x>0时，有x＋≥2，

x50x50∴f(x)＝2＝≤25. 1x＋1x＋x1当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，

x∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25. 1(2)∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，

x50∴f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20. 1x＋x∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20. 反思与感悟

利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解. 12跟踪训练3

设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值. xy12112＋＝1. 解

∵＋＝3，∴xy3xy112＋

∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×3xyy4x114＋＋≥4＋2 ＝xy33448＝＋＝. 333y4x·

xy

y4x当且仅当＝，即y＝2x时，取“＝”.

xy1224又∵＋＝3，∴x＝，y＝. xy338∴2x＋y的最小值为. 3

x＋y≤3，1.设变量x，y满足约束条件x－y≥－1，y≥1，A.12

B.10

C.8

D.2 答案

B z解析

画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋，

2

则目标函数z＝4x＋2y的最大值为(

)

z作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距最大. 2x＋y＝3，解方程组得A(2,1)，所以zmax＝4×2＋2×1＝10. y＝1

12.若不等式ax2＋bx－2>0的解集为{x|－2

) 4A.－18

B.8

C.－13

D.1 答案

C 1解析

∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根. 4－2＋－4＝－a，∴1－2－2×－＝，4aa＝－4，∴

b＝－9.1b

∴a＋b＝－13.

113.设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(

) abaa－bA.1

B.2

C.3

D.4 答案

D 1111解析

a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋

abaa－babaa－b11＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4. abaa－b当且仅当a(a－b)＝1，且ab＝1，

即a＝2，b＝2时取等号. 2

1.不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集. 3.二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5.运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.

一、选择题

1.若a<0，－1

) A.a>ab>ab2

C.ab>a>ab2

B.ab2>ab>a

D.ab>ab2>a

答案

D 解析

∵a<0，－1

∴ab>0，ab2<0. ∴ab>a，ab>ab2. ∵0<1＋b<1,1－b>1>0，

∴a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，

∴a

) A.a<0或a>2

C.a＝0或a＝2

答案

B 解析

原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x＋y－a，结果异号，即－a(1＋1－a)<0，故0

) x＋3A.{x|x<－8或x>－3}

C.{x|－3≤x≤2}

答案

B x－2－x－8解析

原不等式可化为－2≤0，即≤0，即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得：x≤x＋3x＋3－8或x>－3. x－y＋1≤0，y4.若实数x，y满足则的取值范围是(

) x－1x>0，B.0－3} D.{x|－3

A.(－1,1)

C.(－∞，－1)

答案

B 解析

可行域如图阴影部分，yy>1或<－1. x－1x－1B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.[1，＋∞) y的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得x－1

5.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(

) A.a2>a>－a2>－a

B.－a>a2>－a2>a

C.－a>a2>a>－a2

答案

B 解析

∵a2＋a<0，∴a(a＋1)<0，

1∴－1

，可知－a>a2>－a2>a. 2D.a2>－a>a>－a2

96.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于(

) x＋1A.－3

B.2

C.3

D.8 答案

C 99解析

y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，

x＋1x＋1因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥29x＋1·－5＝2×3－5＝1，

x＋19当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，即a＝2，b＝1，

x＋1所以a＋b＝3. 二、填空题

xy7.已知x，y∈(0，＋∞)，且满足＋＝1，则xy的最大值为________. 34答案

3 xy解析

因为x>0，y>0，＋＝1，

34xy所以＋≥2 34即

xy≤1，

3xy·＝

34xyxy13(当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号)，

33422解得xy≤3，所以xy的最大值为3. 8.对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是________. 答案

－2

当a＝2时，－4<0恒成立，∴a＝2符合题意. 当a－2≠0时，则a应满足：

a－2<0，解得－2

综上所述，－2

2

4x＋2的最大值是________. 2x＋5

解析

设t＝x＋2，从而x＝t2－2(t≥0)，

t则y＝2. 2t＋1当t＝0时，y＝0；

112当t>0时，y＝≤＝. 1142t＋2 2t·tt12当且仅当2t＝，即t＝时等号成立. t232即当x＝－时，ymax＝. 24a2b210.已知a>0，b>0，且a≠b，则＋与a＋b的大小关系是________________. ba

a2b2答案

＋>a＋b. baa2b2a2b2解析

∵(＋)－(a＋b)＝－b＋－a

babaa2－b2b2－a211＝＋＝(a2－b2)(－) babaa－ba－b2a＋b＝(a－b)＝，

abab22又∵a>0，b>0，a≠b，

∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，

a2b2a2b2∴(＋)－(a＋b)>0，∴＋>a＋b. baba三、解答题

11.已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca. 证明

∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0. ∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，

即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a＋b＋c>ab＋bc＋ca. 12.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：

产品消耗量资源

甲产品(每吨) 乙产品(每吨) 资源限额(每天)

煤(t)

电力(kw· h)

劳动力(个)

利润(万元)

9

4

3

6

4

5

10

12

360 200 300

问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？

解

设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元. 4x＋5y≤200，依题意可得约束条件：3x＋10y≤300，x≥0，y≥0作出可行域如图. 9x＋4y≤360，

利润目标函数z＝6x＋12y，

由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值.解方程3x＋10y＝300，组

4x＋5y＝200，

得x＝20，y＝24，即M(20,24). 答

生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润. b13.已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，b≥a＋c，求的最大值. aab解

题设条件可转化为c＋c≤4，a－≥1，bccab记x＝，y＝，

cc3x＋y≥5，则x＋y≤4，y－x≥1，3ab＋≥5，cc

y且目标函数为z＝，上述区域表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形. x由方程组3x＋y＝5，x＋y＝4，

得交点坐标为C(12，72)，此时zbmax＝7.即a的最大值为7.