小结教学设计(教案)

《基本不等式》教案

一、

[教学目标] 1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→

剖析归纳证明→

几何解释→

应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

二、 [教学重点]

应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式abab的证明过程及应用。

2三、 [教学难点] 1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

四、 [教学方法]

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

五、 [教学过程]

一、

创设情景，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:

1

一、自学质疑，交流展示

【探究】：上图是在北京召开的第中国古代像一个风象成下图，

24届国际数学家大会的会标，会标是根据数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去车，代表中国人民热情好客。现将图中的“风车”抽

问题1、比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？

【学习过程】

D

引入

a2b2探究1

在正方形ABCD中有4个全等的

a 直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为

F b G a、b,那么

H E ①正方形ABCD的面积S= A ②4个全等的直角三角形的面积S′= ③S与S′的大小关系为

22利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab2ab

问题2、上式能否取到等号？什么时候取等号？

当且仅当a＝b时，等号成立

问题3、上式中a,b的范围能扩大吗?

对于任意实数a,b，有a2b22ab

问题4、你能给出证明吗？

抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

问题5、如果用a,b去替换上述结论中的a,b，则a,b需要满足什么条件？

问题6、替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？

问题7、你能给出证明吗？

要证abab

①

22

只要证ab

②

要证②,只要证ab

0

③

要证③,只要证()20 ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立

。

（告诉学生，这种证明方法称之为分析法，在我们高三的时候会适当的加深补充）

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法. 【归纳总结】

若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

22ab称为a,b的算术平均数，ab称2我们称此不等式为基本不等式。

其中为a,b的几何平均数。

二、把握关键，突出主题

1、探究基本不等式证明方法：

[问] 如何证明基本不等式？

（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华）

2(ab)0展开证明。

方法一：作差比较或由

方法二：分析法（完成课本填空）

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法. 2、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生abab(a,b0)2的几何解释，通过数形结合，赋予不等式探究不等式abab(a,b0)2几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

三、领悟练习

下列命题中正确的是

①对于任意实数a,b，均有ab2ab；

②当x0时，由于1x22x，当且仅当1x2时，即x=1时，等号成立。所3

2以函数y1x(x0)的最小值为2；

π4π44；所以函数ysinx③当x(0,)时，有sinx在(0,)的最小2sinx2sinx值为4。

领悟归纳：简记为：“一正、二定、三相等”。

四、领悟练习：

公式应用之一：

(1)若x0,x等）

1的最小值为________,此时x_________.（学生指出正、定、x(1)

若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。（学生指出正、定、等）

(2)

公式应用之二：（最优化问题）

(1)

在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

五、反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

六、布置作业：课本P100习题A组1、2题

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