阅读与思考 九连环公开课参赛课教案

九连环与递推数列

一、教学目标：

1.

知识与技能：掌握解九连环的方法，掌握用递推数列有关知识求解九连环的最少移动步数，从而推广到解n连环；

2.

思想与方法：通过递推法来求解九连环的最少移动步数，进一步渗透化归思想；通过构造法、累加法来求解n连环的最少移动步数，进一步渗透分类讨论思想；

3.

情感、态度、价值观：通过研究九连环的历史、结构、玩法和求解最少移动步数来增强学生对九连环的学习兴趣，锻炼学生的迁移能力和逻辑推理能力，从而让学生明白数学和生活息息相关。

二、教学重点：

1.

解九连环的策略与方法；

2.

结合递推数列有关知识求解九连环的最少移动次数。

三、教学难点：

1.

将九连环问题转化为数列问题；

2.

解n连环的最少移动步数.。

四、学法指导：探究式教学

五、教具：九连环

六、教学过程：

1.复习巩固

（1）等差数列通项an= 由此可得项数n （2）等比数列通项an= =

当公比q1时，等比数列前n项和Sn =

2.了解九连环

九连环是中国四大古典益智游戏之一,它的历史非常悠久。据说发明于战国时代.宋朝以后,九连环开始广为流传.在明清时期上至士大夫,下至贩夫走卒,大家都很喜欢它。比如清朝的曹雪芹在写红楼梦时就提到了九连环，下面我们看电视剧《红楼梦》中的一段小视频。

环柄19 8 7 6 5 4 3 2柄把环杆板柄钗环环杆

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3.玩转九连环

看来宝黛两位同学对如何解九连环还不是很熟悉，我昨天已经把九连环发给大家了，不知道你们解得熟不熟？教师叫一名学生说出解5个环的步骤并上台展示，并由学生归纳出解九连环的要点：

（1）第一环可以自由上（下）；

（2）要想上（下）第n环（n2），必须满足两个条件：

（i）第n-1环在环柄上

（ii）前n-2个环都不在环柄上

4.计算：

递推求解九连环的最少移动次数：

从刚才学生的展示，由学生递推出解九连环的最少移动次数如下：

5.探究

），a11,a22,探究通项an。

利用递推公式an2an2an11（n3解法一：

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解：由题知a35,an2an2an11,(n3),an12an3an21,(n4)两式相减得：anan1=an2an12an3即an=an22an12an3,anan22(an1an3),(n4)令bnanan2,则bn=2bn-1，b3a3a14，bn=b32n32n1即anan22n1当n为偶数时，a4a223,a6a425,a8a627,......，anan22n1以上各式相加得：ana2232527......2n122n142n12因此：an2222......2143当n为奇数时，a3a122,a5a324,a7a526,......，anan22n1357n1以上各式相加得：ana1222426......2n1因此：an1222......2246n112n142n111432n12（n为偶数）3综上：ann121（n为奇数)3解法二：

阅读教材P59《阅读与思考》----------九连环

解：令K(n)=an,k(n)cn则an=an2+1+cn-1cn=cn-1+1+cn-1=2cn-1+1，cn12(cn-11),c112即cn1=2n,cn2n1an=an2+2n1当n为奇数时an=an2+2n1=an4+2n3+2n1an6+2n5+2n3+2n1......a122......2当n为偶数时an=an2+2n1=an4+2n3+2n1an6+2n5+2n3+2n1......a222......235n324n3+2n1122......224n3+2n12n+1-13+2n1222......235n3+2n12n+1-23

2n12（n为偶数）3综上：ann121（n为奇数)3

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方法与思路小结：

两种方法的区别与联系：

七、课堂小结：（1）解九连环的诀窍：

①第一环可以自由上（下）；

②要想上（下）第n环（n3），必须满足两个条件：

（i）第n-1环在环柄上

（ii）前n-2个环都不在环柄上

（2）本节课的收获：

知识方面：

方法方面：

思想方面：

八、课外探究题：

（课本第69页第6题）已知数列an中，a15,a22,an2an13an2(n3),

对于这个数列的递推公式作一研究，能否写出它的通项公式？

九、板书设计：

九连环与递推数列

1、等比数列求和公式

2、探究通项解法一

探究通项解法二（教材59页）

(q1)

十、教学反思：

上本节课的前一天，我已经把九连环发给每一位学生了，并让他们自己结合教材第59页的《阅读与思考》去探究怎样解九连环及课本上处理解九连环移动的最少次数的方法。所以本节课一开始时学生能很熟练地说出解下九连环的步骤并熟练解下五个环。后来在教师的引导下学生能很快由九连环的模型归纳出数列的一个递推公式，解下来师生共同探究由数列的递推公式求解通项的方法和技巧。

本节课从介绍九连环的历史出发，让学生了解九连环的发展增加学生的学习兴趣，接下来《红楼梦》里宝黛解九连环的小视频将同学们的学习兴趣推向高潮，果然当教师问及九连环的解法时不少学生跃跃欲试，教师及时让学生上台展示以满足学生的成就感。这样设计能激发学生的学习热情，使学生兴趣盎然，对新知识的渴望更高，自然而然地使得后面的教学活动顺畅进行。本节课能围绕教学重点展开探究，考虑到学生前面已经学过数列的相关内容，

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所以本节课一开始让学生复习回顾等差等比数列中相关的公式，为后面求通项时打下伏笔，而且把等比数列在公比不为0时两个公式做以比较并加以说明，巧妙地化解了后面求通项时学生易错的求项数的困恼。总体说来，本节课能围绕教学重点、难点有序进行。

不足之处：本节课在师生共探究由数列的递推公式求通项时，如果能给以学生更多的思考时间，让学生自己探究，教师在关键时刻加以引导，效果是否更好？

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