1.3 实习作业教学设计及教案分析

第6节

正弦定理和余弦定理

最新考纲

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知

识

梳

理

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

公式

常见变形

正弦定理

余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos__A；

abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；

abc(2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R；

(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；

(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A

b2＝c2＋a2－2cacos__B；

c2＝a2＋b2－2abcos__C

b2＋c2－a2cos A＝2bc；

c2＋a2－b2cos B＝2ac；

a2＋b2－c2cos C＝2ab

111abc12.S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

解的个数

a＝bsin A 一解

bsin A

两解

a≥b

一解

a>b

一解

a≤b

无解

[常用结论与微点提醒] 1.三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

A＋BA＋BCC(3)sin2＝cos2；(4)cos2＝sin2. 2.三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；

b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制. 考点一

利用正、余弦定理解三角形

【例1】

(1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝(

) πA.12

πB.6

πC.4

πD.3

(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有(

) A.1个

B.2个

C.0个

D.无法确定

(3)(2018·梅州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________. 解析

(1)由题意得sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，

∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，

π则sin C(sin A＋cos A)＝2sin CsinA＋4＝0，

π因为sin C≠0，所以sinA＋4＝0，

π3π又因为A∈(0，π)，所以A＋4＝π，所以A＝4. ac由正弦定理sin A＝sin C，得1π则sin C＝2，得C＝6. 2(2)∵bsin A＝6×2＝3，∴bsin A

sin 42

b2＋c2－a2b2＋12b2－7b23b＝6b，即a＝7b，由余弦定理得：cos A＝＝＝2bc2，

43b22222π∴A＝6. π答案

(1)B

(2)B

(3)6

规律方法

1.判断三角形解的个数的两种方法

(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 【训练1】

(2017·河北名校联盟质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b. (1)求角A的大小；

(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a. 解

(1)2acos C－c＝2b，由正弦定理得2sin Acos C－sin C＝2sin B，2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，

1∴－sin C＝2cos Asin C，sin C≠0，∴cos A＝－2，

2π又A∈(0，π)，∴A＝3. ABBD(2)在△ABD中，由正弦定理得，＝，

sin∠ADBsin AABsin A22π∴sin∠ADB＝BD＝2.又∠ADB∈(0，π)，A＝3，

πππ∴∠ADB＝4，∴∠ABC＝6，∠ACB＝6，AC＝AB＝2，由余弦定理，BC2＝AB22π＋AC2－2AB·AC·cos A＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos3＝6，∴a＝6. 考点二

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

c【例2】

(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b

) A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.等边三角形

(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(

) A.锐角三角形

C.钝角三角形

B.直角三角形

D.不确定

csin C解析

(1)由b

所以sin C

即sin(A＋B)

所以sin Acos B<0，

因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，

即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形. (2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，

∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A. π∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝2，

∴△ABC为直角三角形. 答案

(1)A

(2)B 规律方法

1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练2】

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(

) A.等腰三角形

B.直角三角形

D.等腰或直角三角形

C.等腰直角三角形

解析

∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，

∴由正弦定理得sin C－sin Acos B

＝2sin Acos A－sin Bcos A，

∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B

＝2sin Acos A－sin Bcos A，

∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，

π∴A＝2或B＝A或B＝π－A(舍去)，

∴△ABC为等腰或直角三角形. 答案

D 考点三

和三角形面积有关的问题

【例3】

(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2. (1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积. 解

(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0，

得tan A＝－3，又0

2π所以A＝3. 2π由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos 3. 即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4. ππ(2)由题设可得∠CAD＝2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝6. 1πAB·ADsin26故△ABD与△ACD面积的比值为1＝1. AD2AC·1又△ABC的面积为2×4×2sin∠BAC＝23，

所以△ABD的面积为3. 规律方法

三角形面积公式的应用原则

111(1)对于面积公式S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】

(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

→→b＝3，AB·AC＝－6，S△ABC＝3，求A和a. →·→＝－6，所以bccos A＝－6，

解

因为ABAC又因为S△ABC＝3，所以bcsin A＝6，

3π因此tan A＝－1，又0

2－＝29，

得a2＝9＋8－2×3×22×2所以a＝29.