阅读与思考 海伦和秦九韶板书设计及意图

海伦-秦九韶公式 背景：海伦公式在数学学习中使用非常广泛，它方便了日常数学学习中三角形的面积计算，使我们只需知道任意三角形的三边长度，就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗？本次探究，着手海伦公式的证明方法、推广，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并且合理使用。

教学目标：通过对三角形面积求解的探讨引出海伦秦九韶公式， 对这两个公式的推导证明让学生充分感受数学的应用之美， 深刻体会到前人对数学问题的发掘和问题的探究。对三角形面积公式的探讨，灵活解决相关的问题及四边形的面积的思考。

教学重难点：对这两个公式的推导和记忆是重点，公式的灵活运用是难点。

教学过程: 思考1：如何求一个三角形的面积？

思考2：如果一个三角形只知道它的三边的长度，能不能求出它的面积？ 算一算

证明1：我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。

定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜，则三角形面积为：

原文见<数书九章>卷五第二题: 以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之．同乘于上，以小斜幂并大斜幂，减上．余，四约之为实，开平方，得积．

证明：如

图，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2

2222所以，u-v=b-c

(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c) a(u-v)=(b+c)(b-c) (u-v)=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a，所以

又 h2=b2-u2，三角形面积=a．h/2

此即：，

其中c>b>a.

如右图，假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由图下公式求得。

证明2：

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为：cosCa2b2c2

2abS1absinC①

21ab1cos2C②

221ab1(a2bc2)224a2b2③

14a2b2(a2b2c2)④

41(2aba2b2c2)(2aba2b2c2)⑤

41[(ab)2c2][c2(ab)2]⑥

41(abc)(abc)(abc)(abb)⑦

4设pabb

2则paabc,pbabc,pcabc,

222上式(abc)(abc)(abc)(abc)

16p(pa)(pb)(pc)

所以，

S△ABC

p(pa)(pb)(pc)

将根号下的多项式分解因式，便成为可见，三斜求积术与古希腊海伦公式是等价的

所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

应用举例

已知：三角形的三边长如下，请分别用海伦公式和秦九韶公式求其面积。

（1）4，5，6 （2）

三角形的面积计算公式主要应用

：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p =125，6，7

(a+b+c),则

12S△ABC =aha=12ab×sinC = r p abc4R

= 2R­2sinAsinBsinC =

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

｛已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积｝

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形

代入解得s83(pa)(pb)(pc)(pd)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

课堂小结：本节课主要介绍了海伦-秦九韶公式的推导和应用，通过对公式的推导过程的认识，充分体会到数学的应用之美，公式之美，思维之美。