信息技术应用 估计√2的值PPT配套优秀教学设计内容

2.5等比数列的前n项和（一）

教学目标

（一）

知识与技能目标

等比数列前n项和公式．

（二）

过程与能力目标

1．

等比数列前n项和公式及其获取思路；

2．

会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

（三）

情感与态度目标

1．

提高学生的推理能力；

2．

培养学生应用意识．

教学重点

等比数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

教学过程

一、复习引入：

首先回忆一下前两节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0）

an12.等比数列的通项公式:

ana1qn1(a1q0)，

anamqnm(amq0)

3．｛an｝成等比数列an1=q（nN,q≠0）

an

数列｛an｝成等比数列，则an0 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

5．等比中项：G为a与b的等比中项.

即G=±ab（a,b同号）. 6．性质：若m+n=p+q，amanapaq

7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

8．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或01, a1<0,或00时, {an}是递减数列;当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列;

二、讲解新课：

（一）提出问题

：关于国际相棋起源问题

6263 例如：怎样求数列1，2，4，…2，2的各项和？

即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：

S641248262263 ① 2S6424816263264 ②

由②—①可得：S642641

这种求和方法称为“错位相减法”，

“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法．

（二）怎样求等比数列前n项的和？

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是 Sna1a2a3an

2n2n1Sna1a2a3anSna1a1qa1qa1qa1q由 得

n123n1nana1qqSna1qa1qa1qa1qa1qaanqa1(1qn)

① 或Sn1 ②

(1q)Sna1a1q ∴当q1时，Sn1q1qn当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

由定义，aaa3anSa1a2a3nq 由等比的性质，2nq

a1a2an1a1a2an1Snan即

Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）

Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．

（三）等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)当q1时，Sn

① 或Sn1 ② 当q=1时，Snna1

1q1q思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？

（当已知a1, q, n

时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.）

三、例题讲解

例1：求下列等比数列前8项的和．

（1）1111，，，… （2）a127,a9,q0

248243解：由a1=1111，q,n8,得 S84222111221128255.

256例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？

解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中

5000(11.1n)30000.

a1=5000, q110%1.1,Sn30000, 于是得到11.1整理得1.11.6.两边取对数,得nlg1.1g1.6 用计算器算得n5(年). 答:约5年内可以使总销售量达到30000台. 例3．求数列1,2,3,4n12141821,....前n项的和。

163n1例4：求求数列1,3a,5a,7a,....,(2n1)a练习：教材第58面练习第1题．

三、课堂小结：

的前n项的和。 1. 等比数列求和公式：当q = 1时，Snna1

a1anqa1(1qn)当q1时，Sn 或Sn ； 1q1q2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．

四、课外作业：

1.阅读教材第55～57页；

2、

求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和. 解：由a11,a22 得q2

1(124)1(1210)S415，

S101023

1212从第5项到第10项的和为S10-S4=1008

3、一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？

解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项a11,q2的等比数列

则：一天内获知此信息的人数为：S2412242241

124、

已知{an}为等比数列，且Sn=a，S2n=b，（ab≠0），求S3n．

分析：要求S3n，需知a1，q，而已知条件为Sn和S2n．能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？

a1(1qn)当q1时

Sn＝a

①

1qa1(1q2n)a1(1qn)(1qn)＝＝b

②

S2n＝1q1q②/①得

1qnb

③

aa1a2将③代入①，得

1q2aba1(1q3n)a1ba23n[1(1)3]

∴S3n＝＝(1q)＝a2ab1q1q以下再化简即可．

这样处理问题很巧妙．没有分别求得a1与q的值，而改为求qn与变得简单但在分析的过程中是否完备？

a1的值，这样使问题1q第①式就有问题，附加了条件q≠1．而对q=1情况没有考虑．

使用等比数列前n项和公式时，要特别注意适用条件，即

a1anqa1(1qn)q=1时，Sn=na1；当q1时，Sn

或Sn

1q1q（含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性）

解法1：设等比数列{an}的公比为q．

若q=1（此时数列为常数列），则Sn=na1=a，S2n2na1=b，

从而有2a=b

∴S3n3na13a（或S3n3na13a若q≠1（即2a≠b），由已知

3b）

2a1(1qn)a1(1q2n)＝a

①

S2n＝b

②

Sn1q1q 又ab0, ②/①得

1qnbb

, qn1

③

aaa1a2将③代入①，得

1q2aba1(1q3n)a1ba23n[1(1)3]

∴S3n＝＝(1q)＝a2ab1q1qa2abb2＝

a解法2：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列（练习中证此结论），

即a,b-a, S3n－b成等比，所以a(S3n－b)=( b-a)2

a2abb2从而有

S3n＝

（包含了q=1的情况）

a四、练习：

an是等比数列，Sn是其前n项和，数列Sk,S2kSk,S3kS2k

（kN比数列？

解：设an,首项是a1，公比为q, ①当q=－1且k为偶数时，Sk,S2kSk,S3kS2k不是等比数列. ∵此时，SkS2kSkS3kS2k

=0. ）是否仍成等例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2S4S2S6S4S2=0,

②当q≠－1或k为奇数时，

Sk＝a1a2a3ak0

kS2kSk＝q(a1a2a3ak)0

2kS3kS2k＝q(a1a2a3ak)0

Sk,S2kSk,S3kS2k（kN）成等比数列

评述：应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.