小结优秀课堂实录

3.4 基本不等式

1教学目标

1 学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

2 理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等

3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力

2学情分析

基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 3重点难点

学习重点：均值定理证明

学习难点：等号成立条件

4教学过程 4.1 第一学时 教学活动

活动1【导入】引入

在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗? 活动2【讲授】讲授新课

1．重要不等式：

如果

证明：

当

所以，

，即

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么

证明：∵

，即

显然，当且仅当

说明：ⅰ）我们称

的算术平均数，称

的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）

成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b 过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么

，即

这个圆的半径为

，显然，它不小于CD，即

，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

1．重要不等式：

如果

证明：

当

所以，，即

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么

证明：∵

，即

显然，当且仅当

说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

1．重要不等式：

如果

证明：

当

所以，，即

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么

证明：∵

，即

显然，当且仅当

说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

1．重要不等式：

如果

证明：

当

所以，，即

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么

证明：∵

，即

显然，当且仅当

说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

活动3【活动】讲解范例

例1 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少

例2 已知x,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值

（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值

证明：因为x,y都是正数，所以 （1）积xy为定值P时，有

上式当

时，取“=”号，因此，当

时，和

有最小值

（2）和x+y为定值S时，有

上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m2,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m造价120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件

我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题

用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案

活动4【测试】小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（

），几何平均数（

）及它们的关系（

≥ ）

它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数

它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具

活动5【作业】作业

课本100页A组1、2、3、4 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2

课时设计

课堂实录

3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)/2

1第一学时 教学活动

活动1【导入】引入

在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗? 活动2【讲授】讲授新课

1．重要不等式：

如果

证明：

当

所以，

，即

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么

证明：∵

，即

显然，当且仅当

说明：ⅰ）我们称

的算术平均数，称

的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）

成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b 过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么

，即

这个圆的半径为

，显然，它不小于CD，即

，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

1．重要不等式：

如果

证明：

当

所以，，即

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么

证明：∵

，即

显然，当且仅当

说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

1．重要不等式：

如果

证明：

当

所以，，即

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么

证明：∵

，即

显然，当且仅当

说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

1．重要不等式：

如果

证明：

当

所以，，即

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么

证明：∵

，即

显然，当且仅当

说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

活动3【活动】讲解范例

例1 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少

例2 已知x,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值

（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值

证明：因为x,y都是正数，所以

（1）积xy为定值P时，有

上式当

时，取“=”号，因此，当

时，和

有最小值

（2）和x+y为定值S时，有

上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m2,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m造价120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件

我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题

用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案

活动4【测试】小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（

），几何平均数（

）及它们的关系（

≥ ）

它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数

它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具

活动5【作业】作业

课本100页A组1、2、3、4