阅读与思考 科学发现中的推理优质课一等奖

课题

§1.1

两个基本原理（1）

王才昌

学习目标

1、

弄清两个基本原理的内容、条件、结论与区别

2、

明确两个原理的地位与作用

3、

会用两个原理解决一些简单的计数问题

二次备课

学习重点

学习难点

学习过程

一、序言

排列、组合在数学中具有重要地位，它不仅应用于数学本身，而且在其他学科、在日常生活和生产实践中更有着重要的应用。在数学上，二项式定理、概率统计等与之密切相关。在其它学科如统计学、运筹学、生物选种等都与之直接相关。至于在日常生活中，只要涉及到安排、调配等计数问题就离不开它。如一条铁路线上需要准备的车票总数、球场场次的安排、双打运动员的搭配等都必须具备一定的排列、组合知识。因此，本章知识应用广泛，极为重要，它和概率统计知识结合起来是高考必考知识。同时学习本章知识应明确：排列、组合是数学中较为独特的一部分知识，它研究的对象及方法同以前大不一样，与旧知识联系较少，内容比较抽象，解题方法比较灵活，是训练抽象思维与逻辑推理能力的“好内容”。

二、新课学习：两个基本原理

（一）探索研究：由实例出发归纳原理的内容、条件、结论、区别

问题1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中火车有5次，汽车有3班。那么，一天中从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

分析：（1）本题中要做的事情是：

（2）本题中问的问题是：

（3）怎样作才能完成这件事呢？

①做这件事共有

类办法，它们是

与

②每类办法中又各分别有

种

种方法

③用任何一类办法中的任何一种方法都可以完成这件事，且任何一类办法中的每一种方法都是互不相同的。

④从而得到完成这件事共有

种不同的方法，即两类不同办法中不同走法的总和

把这个问题的本质抽取出来就得到分类计数原理的内容。

1、分类计数原理（加法原理）：

问题2、从甲地到乙地，需先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中火车有3次，汽车有5班。那么，两天中从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

分析：（1）本题中要做的事情是：

（2）本题中问的问题是：

（3）怎样作才能完成这件事呢？

①完成这件事必须分成

步做，第一步是

，第二步是

②完成各步各分别有

与

方法

③完成第一步有

种不同的方法，按照这3种方法中的任意一种方法达到丙地后，

再由丙地到乙地都有

种不同的走法，从而从甲地到乙地共有

种不同的走法，如下图：

乘火车乘汽车甲丙乙

把这个问题的本质抽取出来就得到分步计数原理的内容。

2、分步计数原理（乘法原理）：

（二）准确理解

两个基本原理是解决计数问题最基本的知识，是学习本章的基础，是分析排列、组合应用问题的基本思维方法，同时应用它也可以直接解决许多计数问题。因此它在本章中地位及其重要。为了能灵活、准确地使用它解决问题，其关键在于具体问题能否用两个原理解题？用哪一个原理解决？而要解决这两个关键问题，就必须对两个原理进行准确的理解。

1、【两个原理都在讨论“做一件事”，求完成这件事共有多少种不同的方法】首先明确原理中“做一件事”究竟是指什么？

2、明确两个原理的区别：

加法原理是讨论分类办事中的计数问题，乘法原理是讨论分步办事中的计数问题。这是两个原理的区别，而且只有明确了“做一件事”是什么的前提下，才能够去分析怎样作才能完成这件事？完成这件事是需要分步骤办才行，还是一步就可以完成？完成这件事有什么方法？这些方法是否可以分类？有了这些准备，才能确定用哪个原理解题

3、明确两个原理的前提和结论。

（1）、加法原理的前提是“做一件事，完成它有几类办法”，这里要求选用任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，并且各类办法中的每一种都互不相同。

（2）、乘法原理的前提是“做一件事完成它需分成几个步骤去做”，这里要求在每一步骤中各任选一种方法，依次做完这几步，才能完成这件事，也就是说完成这件事的各个步骤是相互依存的，即各个步骤都要做完，才能完成这件事。

（三）、巩固应用

例1、（见教材P2例1）

提问：（1）中做的事情是什么？

完成这件事是否需要分步办？

完成这件事是否可以分类办？

用什么原理计数？

结论是多少？

（2）中做的事情是什么？

完成这件事是否需要分步办？

结论是多少？

例2、（见教材P4页例2）

提问：本题中做的事情是什么？

完成这件事是否需要分步办？

完成每一步各有多少种不同方法？

结论是多少？

例3、（见教材P5页例4）

提问：本题中做的事情是什么？

完成这件事是否需要分布办？

结论是多少？

说明：本题结果数字较小，因此可以把所有安排写出来（见下）

小结：用两个原理解题的基本步骤：

1、明确题目中要求做的事情是什么？

2、设计完成这件事的程序：即怎样作才算完成这件事。

3、弄清用什么原理解题

4、用原理求值

三、课堂训练

教材P6页

练习1，2，3 四、课外作业：教材P12页

习题1，2，3,4,5 板书设计

教后反思

课题

§10.1

两个基本原理（2）

王才昌

学习目标

1、复习巩固两个原理

2、掌握分析解决问题是分类办还是分布办的分析方法

3、善于将具体问题归纳为原理解决

4、利用原理解决一些典型计数问题

5、初步接触间接法计数方法

二次备课

学习重点

学习难点

学习过程

一、复习回顾

1、复述两个原理的内容

2、利用两个原理解题的基本程序

二、问题研究

例1、解下列问题

（1）、多项式(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)的展开式中共有多少种不同的项？

分析：展开式中每一项都有形式：

（其中：

）因此要做的事情是

完成这件事需要：

办，结论是

（2）、2160能被多少个正整数整除？能被多少个正偶数整除？

43分析：对2160作质因数分解得：2160235，因此2160的每一个正约数都具有形式：235,其中，iijk,j,k，从而本题做的事情是：

解：①2160的正约数共有

个

②2160的正偶数共有

个

例2、已知集合A1,2,3,4,Ba,b,c,d，（1）从A到B可以建立多少个不同的映射？

(2) 从A到B可以建立多少个不同一一的映射？

分析：要确定一个映射，就是要给A中的每一个元素在B中确定一个象，故需要

办

解：（1）

（2）

变式训练（一）

1、从0,1,2,3,4,5,7,11中任取3个不同的数分别作为直线方程AxByC0中的系数A，B，C，则共有

条不同的直线。

2、从集合0,1,2,,3,2中任取两个元素作为直线yxtanb的倾斜角和2纵截距，共组成

（1）

条不同的直线

（2）、

条平行于x轴的直线

3、从2,3,5,7,11中任取两个元素分别作为分数的分子与分母，则组成

（1）

个不同的分数

（2）

个不同的真分数。

例3、用5种不同的颜色给图中A，B，Ｃ，Ｄ四个区域涂色，规定每一个区域只涂一种颜色，相邻两区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方式？

AB CD

解：（

）办

例４、解下列问题

（1）将10个学生分配到4个不同的课外小组中去活动，每个小组的人数不限，共有多少中不同的分配方案？

解：本题做的事情是：

，故分

办，共有

种。

（2）、自高二年级10个班分别评出学习、纪律、卫生、体育先进班级各一个，共有多少种不同的评选结果？

解：本题做的事情是：

故分

办，共有

种。

变式训练（二）

（1）、将3封信投放到6个不同的信箱中，共有

种不同的投法

（2）、4个同学争夺三项竞赛的冠军，不许并列，那么冠军获得情况共有

种。

例5、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式共有（

）种。

A、6

B、9

C、11

D、23 解法一：（分步办）

解法二：（把所有可能结果一一列举出来）(列举法)

设四个人分别为Ａ，B，C，D，所写贺卡分别为a,b,c,d

例6、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入到原节目单中去，那么不同的插法种数共有（

）种。A、42

B、30 Ｃ、２０Ｄ、１２

解：（分步办）

例7、有数字1，2，3，4，5

（1）、由这5个数字可以组成多少个不重复的四位数？

（2）、由这5个数字可以组成多少个数字允许重复的5位数？

说明：（1）、在组数中一般是从高位到低位的顺序确定各位的数字，这叫逐位考虑法，实际上若没有特殊的要求，这个顺序可以任意选取。

（2）、（2）题实际上是一个重复排列问题

（3）、由这5个数字可以组成多少个数字允许重复的且大于23400的五位数？

思路一：（直接法）

思路二：首先可求出由1，2，3，4，5共可组成数字允许重复的五位数共有

个，然后求出不符合条件的五位数个数，再用排除的思想求出符合条件的五位数的个数。

小结：1、此法叫做排除法，是计数中的一种重要方法

2、此题是两个原理的综合应用

变式训练（三）

1、有三个口袋，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个

（1）、从口袋中任取一球，共有

种取法

（2）、从袋子中取颜色不相同的三个小球，共有

种取法

（3）、从袋子中任取颜色不同的两个小球，共有

种取法。

2、已知M1,2,3,N4,5,6,7,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标（x,y），则在平面直角坐标系中，位于第一和第二象限内的点共有（

）个。A、18

B、16

C、14

D、10 例8、某外语组共9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，现从中选出会英语与会日语的各一人，共有多少种不同的选法？

例9、在所有的两位自然数中，个位数字大于十位数字的共有多少个？

变式训练（四）

x2y21的焦点在y轴上，a1,2,3,4,5,b1,2,3,4,5,6,7，则1、设椭圆ab这样的椭圆共有

个

解：

2、用数字1，2，3可以组成多少个小于1000的自然数。

解:根据自然数的

进行

3、由1，2，3，4可以组成多少个数字允许重复且不超过4位的自然数。

解：

例10、从1到200的自然数中，有多少个各位都不含数字5的自然数。

解：

例11、用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数？

三、课后训练题

1、某班有男生26人，女生25人，从中选一位为数学科代表，共有

种选法

2、某商场共有4个门，购物者若从一个门进入，从另一个不同的门出去，则不同的走法有

种

3、书架上原来并排放着6本书，现要插入3本不同的书，那么不同的插法有（

）种

A、504

B、336

C、24

D、18 4、一个包内有5本不同的小说书，另一个包内有4本不同的教科书，从两个包内各任取一本书，共有（

）取法。

A、5

B、4

C、9

Ｄ、20 5、3名学生报名参加体操、美术、计算机、音乐课外小组，每人选报一项，则不同的报名方式有（

）种。

A、81

B、64

C、3

D、12 6、某小组共有8名男生，6名女生，从中任选男、女各1人去参加会议，则不同的选法有（

）种

A、48

B、24

C、14

D、12 7、从A村到B村的道路共有2条，从Ｂ村到Ｃ村的道路共有３条，从Ａ村直接到C村（不经过B村）的道路有2条，那么从A村到C村共有（

）种走法A、6

B、

7

Ｃ、８

D、12

8、某座四层大楼底层有3个入口，楼内有2个楼道，那么由楼外进入到楼的第四层共有（

）种走法

A、12

B、24

C、18

D、36 9、已知A1,2,1,2,3,B0,2,4,6,8现从A，B中各取一个元素作为平面直角坐标系的点的坐标(x,y)，则位于第二象限内的点共有（

）个。A、10

B、8

C、6

D、2 10、某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式共有（

）种

A、510

Ｂ、105

Ｃ、50

D、

都不对

11、某同学发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方式共有（

）种

Ａ、3

B、6

C、7

D、9 12、某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽取7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特定的号码买全，则要花（

）元。

A、3360

B、6720

C、4320

D、8640 13、(x3x2x1)(y2y1)(z1)展开后的不同的项共有（

）项

A、9

B、12

C、18

D、24 14、从集合Aa,b,c到Bd,e,f,g的映射共有（

）个

A、24

B、81

C、6

D、64 15、有不同颜色的上衣5件，裤子5件，从中选一件送与他人，共有

选法，从中选一套送与他人，共有

选法。

16、M1,1,2,a,b,rM,则(xa)(yb)r表示的圆有

个

22217、集合(x,y)x,yN,xy6中元素的个数为

18、用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 （1）、组成

个六位号码

（2）、组成

个六位自然数

（3）、组成

个无重复数字的六位自然数

（4）、组成

个无重复数字的三位偶数

（5）、组成

个无重复数字的4位奇数。

19、某文艺团共有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中5人会唱歌，8人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，，共有

种选法

20、三个比赛项目，6人报名参加，（1）、每人参加一项，有多少种不同的报名方式？

（2）、每项1人且每人至多参加一项，有多少种不同的报名方式？



（3）、每项1人且每人参加的项数不限，有多少种不同的方式？

板书设计

教后反思