阅读与思考 九连环教学实录及点评

九连环与数列

彭山一中

盛勇

教学目标：

1、了解九连环的相关知识，学会九连环的解法。

2、熟练地利用数列递推公式求解通项公式。

3、通过建立数列模型解决九连环问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，树立问题意识和应用意识。

教学重点：通过解九连环发现其中蕴藏的数列递推关系式。

教学难点：利用递推公式，求出通项公式，解决问题。

教学过程：

一、熟悉历史，课时导入，提出问题

九连环是中国古代一种著名的智力玩具。在《红楼梦》第七回中就有过林黛玉解九连环的描述：“谁知此时黛玉不在自己房中，却在宝玉房中大家解九连环顽呢。”

《庄子·天下篇》

惠施多方，其书五车，其道舛驳，其言也不中。历物之意，曰：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。无厚，不可积也，其大千里。天与地卑，山与泽平。日方中方睨，物方生方死。大同而与小同异，此之谓‘小同异’；万物毕同毕异，此之谓‘大同异’。南方无穷而有穷。今日适越而昔来。连环可解也。我知天下之中央，燕之北、越之南是也。氾爱万物，天地一体也。”

提出问题：如何解开九连环？→解开九连环最少需要多少步？

（每解下一环或套上一环都算作一步，在环柄上滑动不算步骤）

二、动手操作，学习方法

1、通过查阅资料，我们找到了前人总结出来的方法：

（1）1号环自由下（上）；

（2）1,2号环一起自由下（上）；

（3）当n>2时，若想下（上）第n环，则第（n-1）环必须在环柄上，前（n-2）环都必须在环柄下；

（4）“上”与“下”是一个可逆的过程，上、下相同的环所需步骤一致。

2、请一位同学为大家演示，如何解开第1环，前2环，前3环，前4环。

猜想，思考，回答下列问题：（每下一个环，或者上一个环都算一步，在环柄上滑动不算步骤）

（1）解开第一环的步骤为：“①下”，需要

步；

（2）解开前两环的步骤为：“②下①下”，需要

步；

（3）解开前三环的步骤为：“①下③下①上，②下①下”，需要

步；

（4）解开前四环的步骤为：“②下①下④下①上②上，①下③下①上②下①下”，需要

步

三、猜想与探究

1、解开前5环最少需要多少步？如何解？

2、为了更好地阐述，我们借助数列这一数学模型来描述“解开前n环需要的最少步骤数”：

记数列{an}：

an=解开前n环所需最少步骤数

3、通过前面的计算我们知道：

a1=1，a2=2，a3=5，a4=10，

通过分析解法，我们猜想规律：当n>2时，an=2an-2+an-1+1 故，a5=2a3+a4+1=2×5+10+1=21 解法为：

①下③下①上②下①下⑤下①上②上①下③上①上，

②下①下④下①上②上①下③下①上②下①下

4、我们来仔细分析第三、四条解法规则：

（3）、当n>2时，欲解下（或套上）第n环，必须使得第（n-1）环在手柄上，前（n-2）环都不在手柄上

（4）、解下或套上同一环所需步骤是互逆的，故步骤数一致。

我们考虑解下前n环(n>2)需要哪些重要环节：

欲解下前n环（n>2）需要以下2个重要环节：

I、解下第n环，此时第（n-1）环必还在环柄上，前（n-2）环都不在环柄上。

要完成该环节，一共需要(1+an-2)步

II、解下第（n-1）环。

要完成该环节，只需把前（n-2）环套上，然后再解下前（n-1）环即可，一共需要（an-2+an-1）

故：当n>2时，an=2an-2+an-1+1 此即为解“九连环”，乃至N连环的递推公式。

5、利用上述公式我们可以计算a9 a1=1;

a2=2; a3=a2+2a1+1=2+2+1=5;

a4=a3+2a2+1=5+4+1=10; a5=a4+2a3+1=10+10+1=21; a6=a5+2a4+1=21+20+1=42; a7=a6+2a5+1=42+42+1=85; a8=a7+2a6+1=85+84+1=170; a9=a8+2a7+1=170+170+1=341; 四、深入探究

1、请同学们运用已学的数列知识，求出这个数列的通项公式。

（1）、该数列{an}满足：

a1=1，a2=2，当n>2时，an=2an-2+an-1+1 （2）、求该数列通项的方法：

2a1(nN)递推公式化为an2an1n待定系数法（要用三次）

令an2an1(an1an)1整理得：an2()an1an

1121对比系数得：解之得：或221

1

,当时，有an2an12(an1an)1

2

可再次利用待定系数可得：

an2an112(an1an1)而，

当n1时，aa12114021

故an1an1是首项为4，公比为2的等比数列，

故an1an142n12n1即an1an2n11(nN)



2时，有an22an1(an12an)1

,当1

可再次利用待定系数可得：

11an22an1(an12an)而，

22

111当n1时，a2a22021

222

11故

an12an是首项为，公比为1的等比数列，22



a2a11(1)n11(1)n故n1n222

11

即an12an(1)n(nN)

22

n1aa21n1n

联立方程组得11

na2a(1)n1n

22

消去an1得：

n2n12(1)3

a(nN)n6

211(1)103a341

96

五、课时小结

1、九连环的历史背景

2、九连环的解法规则

3、利用数列知识解决“最少步骤解九连环”问题

4、巩固了待定系数法求数列通项

教学反思：

1、九连环只有一个，没能让所有学生在当堂课进行操作，只是课后操作，比较遗憾

2、由于学生知识储备的原因，九连环与二进制的联系没能涉及

3、对于历史中的连环的装饰作用没有提及，恐对课堂内容产生冲击

4、时间原因，在用二阶递推公式求通项公式的时候，多数步骤只能教师提前完成。否则，至少得再花上1课时来解决。

5、教材中的此类实践探索问题，是有效提升学生发现解决问题的能力之课程，不可忽视，也是激发学习兴趣的课程，不可怠慢。