2.2.2 反证法教学设计和教学实录

反证法教学设计 一、教材分析

本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（A）版》第二章中的2节反证法。反证法的理论依据是逻辑规律中的排中律；一个事物或者是A，或者是非A，二者必居其一。反证法即是证明结论的反面正确。由于互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，原命题为真时，则它的逆否命题也为真。在直接证明原命题有困难时，就可以转换为证明它的逆否命题成立。

二、教学目标

知识与技能：结合已经学过的数学证明方法，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生进行逻辑推理，培养他们的推理能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

三、教学的重点和难点

重点：1、理解反证法的概念

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤

3、用反证法证明简单的命题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。 四、教学过程

(一)温故知新：

复习综合法和分析法

请学生回答两种方法的证明过程和思考特点。得出两种方法的实质为

正确题设 正确推理 正确结论

（二）提出问题引入新课

请学生证明我们来看一道引例：请证明3725为假。给几分钟我们思考一下。

学生讨论得出正确答案。

题设

237252 1022120

2152125正

确

推理

错误结论

【设计意图】通过引例，我们来看看如何证明一道题是错的。错误题设 正确推理 错误结论

（三）思考交流形成概念

由此受到启发，我们看一看如何证明结论是正确的呢？学生讨论，师生共同完成。

命题 假设命题的否定成立 正确的推理 错误结论 假设错误 命题正确

我们依照思路，试一试这道题。

。证明三角形中的三个内角至少有一个不小于60。

请学生讨论一下，然后让同学比对刚才的思路讨论这道题的解法。

第一步找到命题的否定，ABC中三个内角中都小于60，

第二步正确推理：此三角形三个内角和小于180与三角形内角和180相矛盾了，说明我们结论错误，那么就可以说命题的否定不成立，那么命题本身必然成立。

【设计意图】本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例。通过此题，我们熟悉一下反证法的解题思路，更深入的了解反证法的实质。

下面我们对反证法进行一下描述，叙述出定义并进行板书，师生共同进行。

定义：一般的假设命题不成立（即在原命题的条件下结论不成立），经过正确的推理最后得出矛盾，因此假设错误，从而证明了原命题成立。这种证明的方法就叫做反证法。

（四）

例题讲解，熟悉概念

例一：已知直线a，b和平面

,如果a,b,且ab求证: a 展示证明：a

的否定为a与

相交或a在

内。a与相交时可能与交在b上或不在b上，在b上与

ab矛盾，不在b上两直线必异面也与ab矛盾。所以原命题成立。

【设计意图】：这道题的目的在于熟悉概念，关键是找出错误的结论是什么，此题的错误是与已知矛盾。

1＋y1＋x例二：若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2. xy1＋y1＋x1＋y1＋x【证明】

假设与都不小于2，即≥2，≥2.

xyxy∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，

∴ x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾，∴假设不成立，原命题成立．

故1＋y1＋x

与

至少有一个小于2. xy【设计意图】:进一步领会反证法的解题步骤，加深对至多至少等词语的理解。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

例三：证明2是无理数

证明：假设2不是无理数则它是有理数，设222m（m、n为互质的正整数），

n2222两边平方，得m=2n因此m=2n，m为偶数，于是可设m=2k，4k=2n，即n=2k所以n为偶数。

这与m，n互质矛盾，因此2不是有理数。它是无理数。

【设计意图】题目难度较大，在讲解时要给学生提示：要提示从定义出发。即给出有理数与无理数的定义。还应该给学生渗透一些数学史的小知识，增强学生学习的兴趣。

（五）归纳总结得出步骤

已经做了这么多的反证法的题，下面给反证法归纳一下步骤吧。

假设命题的否定成立

正

确

的

推

理

得出矛盾（已知、定理、定义、假设等）

反设

归谬

存真

命题成立

在应用反证法证题时，必须按“反设——归谬——存真”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。

【设计意图】

在应用反证法证题时，必须按“反设——归谬——存真”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与自身相矛盾。

（六）总结概括加深理解

总结本课内容：反证法使用条件

1直接证明有条件推结论的线索不够明晰

2正面证明需要讨论的情况很多，比如带有至多，至少等词语的命题或否定性命题。

反证法步骤：

（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；

（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾；

（3）存真：否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。