8、圆锥的体积练习第一课时教学实录

“旋转”与“想象”教学设计

江苏省丹阳市华南实验学校 张锁荣（212300）

一、教学内容：旋转与想象。（自编，适用于六年级下册）

二、教学目标：

1．在引导学生回忆长方体、正方体、圆柱、圆锥的特征和计算公式的基础上，启发学生用“联系”的观点去思考，从而进一步突出理解其本质特点。

2．数形结合，将动手操作、空间想象、计算比较、规律发现、拓展延伸有机结合起来，培养的猜想意识和空间想象能力，在多层次“转化”中培养的数学思维能力，更好地培养学生的空间观念。

三、教学过程：

（一）回忆旧知，引发新知

师：同学们，到目前为止，我们已经学过了哪些立体图形？

生（齐）：长方体、正方体、圆柱、圆锥。

师：对，这些立体图形我们都研究过它们的特征和计算公式。你现在能在头脑中想象出它们的形状吗？

接着，教师在屏幕上依次出示长方体、正方体、圆柱、圆锥的直观图。并问：长方体有哪些特征？学过了哪些公式？

让学生简单回忆一下。

教师：长方体、正方体、圆柱和圆锥都是立体图形这一类，你能结合它们的特征或者公式，给这些立体图形再分分类，可以怎么分类？理由是什么。

生1：长方体和正方体是一类，圆柱和圆锥是另一类。因为长方体和正方体是平面图形围成的；而圆柱和圆锥有曲面。

生2：长方体、正方体、圆柱是一类，圆锥是另一类。因为长方体、1正方体、圆柱的体积公式都是V=sh，而圆锥的体积公式却是V=3

sh。

教师：善于从不同角度思考问题，是一种很重要的学习方法。像刚才，同一组图形，从不同角度去分类，就可以得到不同的结果。

下面这个立体图形，上面和下面都是正五边形，猜一猜：它的体积公式是什么？

（设计意图:

在引导学生回忆长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积公式的基础上，让学生从不同角度给立体图形进行分类，引导学生用“联系”的观点去思考，进而进一步突出其本质特点。在归纳总结长方体、正方体、圆柱的体积公式都是底面积乘高，然后进行类比直棱柱的体积公式，让学生大胆猜想，进行类比，培养学生的猜想意识和类比推理能力，使得拓展教学有理、有度。）

（二）动手操作，动脑想象

1．教师示范

（1）如图，一个长方形沿一条直线旋转，会形成什么图形呢？

（2）如图，用纸片和小棒做成下面的小旗，快速旋转小棒，观察并想象纸片旋转后所形成的图形。

2．动手操作：课前，同学们也做了这样的可以旋转的小旗，哪位同学愿意来展示一下。在展示过程中，老师请同学指出它的高和底面半径分别是哪条边。

3．动脑想象：

下面一组图形，以AB为轴旋转一周，形成什么立体图形？它的半径和高各是多少？

（单位：厘米）

（设计意图：让学生充分想象，旋转一周，形成什么立体图形，它的半径和高各是多少厘米，有利于培养学生的空间想象能力。）

（三）猜想验证，探索发现

如下图，以AB为轴旋转一周或以BC为轴旋转一周，体积各是多少？猜想一下：哪一种旋转的体积大？为什么？（单位：厘米）

AB为轴：3.14×52×10=785（立方厘米）

BC为轴：3.14×102×5=1570（立方厘米）

研究发现：以短边为轴旋转的体积较大。

（四）类比推理，举一反三

直角三角形ABC，以AB为轴旋转一周或以BC为轴旋转一周，体积各是多少？猜想一下，哪一种旋转的体积大？（单位：厘米）

1AB为轴：

×3.14×32×4=37.68（立方厘米）

31BC为轴：

×3.14×42×3=50.24（立方厘米）

3研究发现：以短边为轴旋转的体积较大。

直角三角形ABC，以AC为轴旋转一周，体积是多少？

（单位：厘米）

先引导学生想象旋转后的立体图形是怎样的？

学生发现是有上下两个圆锥组合而成的。首先要求出圆锥的底面半径是多少。怎样求呢？让学生在图上画一画、想一想。

生1：解：设AC斜边上的高为x厘米。

5x÷2=3×4÷2

5x=12

x=2.4 1111

×3.14×2.42×h1+

×3.14×2.42×h2=

×3.14×2.42×（h1+ h2）=

3333×3.14×2.42×5= 1师追问学生：“

×3.14×2.42×5”这个算式表示什么呢？

3生2：它就是一个圆锥的体积公式。一个底面半径是2.4厘米，高为5厘米的圆锥的体积。（如图）

1生3：其实，换个角度看也很好理解的：上面的圆锥是上面的圆柱的

，31下面的圆锥是下面的圆柱的

，上面的圆锥与下面的圆锥的和就是上面31的圆柱和下面的圆柱的和的

，也就是一个底面半径是2.4厘米，高为53厘米的圆锥的体积。

（五）迁移推广，触类旁通

1.下图ABCD是直角梯形，以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，体积是多少?（单位：厘米）

生1：圆柱的体积是：3.14×32×3=84.78（立方厘米）

1圆锥的体积是：3

×3.14×32×3=28.26（立方厘米）

84.78+28.26=113.04（立方厘米）。

生2：以AB为轴旋转的旋转体是由一个圆柱和一个圆锥组成的立体图形，圆柱和圆锥等底等高。如果圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份。一共就是这样的4份。所以：

12

×3.14×3×3×4=113.04（立方厘米）

3生3：以AB为轴旋转的旋转体是由一个圆柱和一个圆锥组成的立体图形，1圆柱和圆锥等底等高。如果圆柱的体积看作1份，那么圆锥的体积就是3

4份。一共就是这样的3

份。所以：

43.14×32×3×3

=113.04（立方厘米）

2.若以CD为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，体积是多少?

哪一种旋转的体积大？

生1：以CD为轴旋转的旋转体是一个圆柱和缺少了一个圆锥的圆柱组成的，圆柱的体积是3.14×32×3=84.78（立方厘米），缺少了一个圆锥的圆22柱的体积就是圆柱的体积的3

，算式是：3

×3.14×32×3=56.52（立方厘米），84.78+56.52=141.3（立方厘米）。

生2：换个角度想一想，很容易发现以CD为轴旋转的旋转体体积大一些,而且还根本不用上面那样烦琐的计算。我先按一般思路去做，以AB为轴旋转的旋转体是由一个圆柱和一个圆锥组成的立体图形，圆柱和圆锥等底等高，如果圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份。如果把ABCD直角梯形想象成一个长6厘米、宽3厘米的长方形，这个长方形旋转一周后就成了一个大圆柱体。这个大圆柱体是刚才底下那个小圆柱体积的2倍，大圆柱体体积就是这样的6份。因此，原来以AB为轴旋转的旋转体4就是大圆柱体的体积的6

。

而以CD为轴旋转的旋转体的体积，上面的旋转体的圆柱少了一个圆锥，所以上面部分的体积有2份，加上底下圆柱的体积是3份，一共就有555份，所以，以CD为轴旋转的旋转体体积就是大圆柱体体积的6

。6

＞46

，所以，很容易知道以CD为轴旋转的体积大一些。

3.下图ABCD是直角梯形，以BC为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，体积是多少?（单位：厘米）

（见示意图）

教师指出：像这样的图形叫做圆台，它的体积怎样求呢？如果将上面的空余部分补充上去，圆台的体积可以用大圆锥的体积减去小圆锥的体积：

1122

×3.14×6×6－

×3.14×3×3=226.08－28.26=197.82（立方厘米）

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（设计意图：课前先组织学生用小棒和硬板纸做成可以旋转的小旗，一方面激发学生的学习兴趣，同时为探索规律提供了基础。然后，让学生想象旋转后的立体图形是什么体，说出它的高和底面半径分别是多少。接着，分别对直角三角形的三条边进行旋转，发现以短边为轴旋转的体积大一些；对直角梯形的2条边进行旋转，也发现以短边为轴旋转的体积大一

些。最后，拓展到圆台。通过几个层面的教学，培养了学生的空间想象能力，激发了学生探索性新问题的兴趣，初步发现一些简单的规律，培养了学生的创新意识。整个教学过程，始终将动手操作、空间想象、计算比较、规律发现、拓展延伸有机结合起来，将“已知”与“未知”相联系，让学生带着问题进课堂，更让学生带着问题出课堂。）