1.1.7 柱、锥、台和球的体积教学评价实录

1.1.7

柱、锥、台和球的体积

1.了解祖暅原理的实质,并能运用祖暅原理说明等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等,体会等体积转化的思想.

2.记住柱体、锥体、台体和球的体积公式,并能熟练运用公式进行相关体积的运算.

3.由分割三棱柱推导三棱锥的体积公式的过程,体会割补法在求几何体体积中的应用,并从中体会合理变换底面和顶点对解题带来的方便.

问题1:胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑物,所以可以根据正四棱锥的体积公式进行求解.所以V=

Sh=

×230×230×146.5≈2583283.3 m3

.

问题2:写出柱体、锥体、台体、球的体积计算公式.

(1)V柱=

Sh ,其中S和h分别是柱体的底面积和高.

特别地,V2圆柱=

πrh ,其中r和h分别是圆柱的底面半径和高.

(2)V

锥=

Sh ,其中S和h分别是锥体的底面积和高.

特别地,V

2圆锥=

πrh ,其中r和h分别是圆锥的底面半径和高.

(3)V

台=

(S+

+S')h,其中S、S'和h分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.

特别地, V

22圆台=

π(r+rr'+r')h,其中r、r'和h分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.

(4)V球=

.

问题3:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为

;当台体上底放大为与下底相同时,台成为

.因此只要分别令

和

便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式.从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式.

柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系.

(S'、S分别为上、下底面面积,h为柱、锥、台的高) 问题4:等积法求体积是充分利用四面体的底面和顶点的灵活性,在高考中经常用到的一种求体积的方法.

等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时.这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.

柱体、锥体、台体的体积

已知棱长为5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,求它的体积.

球的体积

已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半且AC=BC=6,AB=4,求球的体积.

简单组合体的体积

如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°, AB=5, CD=2

, AD=2.求四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周所成几何体的体积.

(2015年·山东卷)在梯形ABCD中,∠ABC=

,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(

).

A.

B.

C.

D.2π

达标测试

名称

表面积

体积

几何体

柱体

(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh 锥体

(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底

V＝13Sh 台体

S表面积＝S侧＋S上＋SV＝1＋(棱台和圆台) 3(S上＋S下下

S上S下)h 球

S＝4πR2

V＝43πR3

一选择题

1、正方体的全面积为24 cm2，则它的体积是 （ ）

A．4cm3 B．16cm3 C．64cm3 D．8cm3

2、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（ ）

A．1:3 B．1:1 C．2:1 D．3:1 3、用长为4，宽为2的矩形做面围成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为 （ ）

A

．2

B．84

C．

D．8 4、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后

，剩下的几何体的体积是 （ ）

A．274

3 B．6 C．5 D．56

5、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体表面

积及体积为：（ ） A 24cm2，12cm3 B 15cm2，12cm3C 24cm2，36cm3

D 都不正确

5 6

6一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ）

A. 3 B. 4 C. 2 D. 

7正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ）

A.a; B.a; C.2a

32; D.3a. 8已知正方体外接球的体积是32（A）22

（B）23

3

，那么正方体的棱长等于

（C）42

（

D（） 43）

333

二填空题

1、RtABC中，AB3,BC4,AC5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为____________ 2、已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________ 3、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的 倍. 4、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为 cm3. 4、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 5、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________. 6、正方体的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。

7、一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米

三解答题

在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积

参考答案

知识体系梳理

问题2:(1)Sh πr2h (2)

Sh

πr2h

3

(4)

πR

问题3:锥

柱

S'=S S'=0 重点难点探究

探究一:【解析】如图,四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,各侧面都是全等的正三角形.

在Rt△SOB中,SB=5,OB=

BD=

, 所以四棱锥的高SO=

-

= - =

.

所以V=

S底h=

×25×

=

.

【小结】解决棱柱、棱锥、棱台的体积问题的关键是找到高,这需要在常见的几何体中构造特殊图形:一般地,在棱柱中构造矩形、在棱锥中构造直角三角形、在棱台中构造直角梯形,将空间问题转化为平面问题解决.

探究二:

【解析】设球心为O,球半径为R,作OO1⊥平面ABC于O1,如图.

由于OA=OB=OC=R,则O1是△ABC的外心,设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1∈CM,连接O1A.

设O1M=x,易知O1M⊥AB, 则O1A=

,O1C=CM-O1M=

-

-x.

又O1A=O1C,∴

=

-

-x, 解得x=

,则O1A=O1B=O

1C=

.

在Rt△OO

1A中,O1O=

,∠OO1A=90°,OA=R, 由勾股定理得(

2

22

)+(

)=R, 解得R=

.

故V

3球=

πR=27

π.

【小结】球的截面问题主要考查球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直角三角形的计算问题,注意大圆半径与小圆半径之间的转化.

探究三:【解析】过点C作CE⊥AB交AB于点E,将四边形ABCD绕AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体是由直角梯形ADCE旋转出的圆台与△CBE旋转出的圆锥拼接而成的组合体.

由图计算可得CE=4,AE=2,BE=3, 所以V=

π(CE2+CE· AD+AD2) AE+

2

πCE· BE=

π.

【小结】首先根据旋转的图象,确定形成的旋转体由哪些简单几何体组成,再套用公式求体积.

全新视角拓展

【解析】过点C作CE垂直AD所在直线于点E,梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径,线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径,ED为高的圆锥,如图所示,该几何体的体积为V=V圆柱-V圆锥

=π·AB2·BC-

·π·CE2·DE=π×12×2-

π×12×1=

,故选C.