复习参考题教案和学案内容

§10.3

二项式定理

最新考纲

会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

考情考向分析

以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.

1．二项式定理

二项式定理

二项展开式的通项公式

二项式系数

2.二项式系数的性质

0(1)Cn＝1，Cnn＝1. m1mCm＋Cn. n＋1＝Cn－n1n11nkknn(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N*) na＋Cnana－－nkkTk＋1＝Ckb，它表示第k＋1项

na－二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n}) mnm(2)Cn＝Cn. －(3)当n是偶数时，

Tn项的二项式系数最大；当n是奇数时，Tn1与Tn1项的二项式系数21221相等且最大．

12nn(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2. 概念方法微思考

1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？

提示

(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．

2．二项展开式形式上有什么特点？

提示

二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 1n1n(4)二项式的系数从C0n，Cn，一直到Cn，Cn. －3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？

提示

不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) nkk(1)Ckb是二项展开式的第k项．(

×

) na－(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(

×

) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(

√

) nkk(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Ckb.(

×

) na－(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(

×

) 题组二

教材改编

2．[P31例2(1)](1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(

) A．80

B．40

C．20

D．10 答案

B kkkk222解析

Tk＋1＝Ck2＝40. 5(2x)＝C52x，当k＝2时，x的系数为C5·1x＋n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(

) 3．[P31例2(2)]若xA．10

B．20

C．30

D．120 答案

B 6－k1kk6－2k解析

二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝Ck·x·＝C，当6－2k＝0，即当66xxk＝3时为常数项，T4＝C36＝20. 4．[P41B组T5]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(

) A．9

B．8

C．7

D．6 答案

B 解析

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8. 题组三

易错自纠

5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(

) A．Cmn

1B．Cm

n＋

1C．Cm

n－1D．(－1)m1Cm

n－－答案

D 解析

(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为

1Tm＝Cm(－y)m1xnn－－－－m＋1，

1所以系数为Cm(－1)m1. n－6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是(

) A．5

B．6

C．7

D．8 答案

B 1解析

由二项式定理知，an＝Cn10(n＝1,2,3，…，11)．

－又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，

所以a6＝C510，则k的最大值为6. 7．(xy－yx)4的展开式中，x3y3项的系数为________．

答案

6 解析

二项展开式的通项是Tk＋1＝Ck4(xy)4－k·(－yx)＝(－1)Cxkkk44k2y2k2kk，令4－＝2＋＝3，222解得k＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C4＝6.

题型一

二项展开式

命题点1

求指定项(或系数) 11＋2(1＋x)6的展开式中x2的系数为(

) 例1 (1)(2017·全国Ⅰ)xA．15

B．20

C．30

D．35 答案

C k解析

因为(1＋x)6的通项为Ck6x，

1144221＋2(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·所以Cx和·Cx. 6xx266×542因为C2＋C＝2C＝2×＝30，

6662×111＋2(1＋x)6的展开式中x2的系数为30. 所以x故选C.

(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．

答案

160x6

25k10解析

因为(x2－4)5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck(－4)k＝(－4)kCk5(x)5x－－2k，

66令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·C25x＝160x. (3)(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是________．

答案

12 解析

方法一

(x2＋x＋y)4＝[(x2＋x)＋y]4，

24kk其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cky，

4(x＋x)－因为要求x3y2的系数，所以k＝2，

2422所以T3＝C2y＝6(x2＋x)2y2. 4(x＋x)－因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，

所以x3y2的系数是6×2＝12. 方法二

(x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，

在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，

故x3y2的系数是C2C1C14·2·1＝12. 命题点2

求参数

1x＋10的展开式中x6的系数为30，则a等于(

) 例2 (1)(2018·海口调研)若(x2－a)x11A.

B.

C．1

D．2 32答案

D 1110－k1kk10－2kx＋10的展开式的通项公式是Tk＋1＝Ckx＋10的展解析

由题意得·x·＝Cx，1010xxx332开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C10，C210，因此由题意得C10－aC10＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D. 115x2＋6的展开式中常数项为，则实数a的值为(

) (2)若ax1611A．±2

B.

C．－2

D．±

22答案

A 1k26－k1kk1k12－3kx2＋6的展开式的通项为Tk＋1＝C6解析

(x)·＝C6axaxax，令12－3k＝0，得k＝4. 1415，即14＝1，解得a＝±故C42，故选A. 6·a＝16a16思维升华

求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

跟踪训练1 (1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(

) A．－80

B．－40

C．40

D．80 答案

C 解析

因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C322＝－40，

5·x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C223＝80. 5·所以x3y3的系数为80－40＝40. 故选C. (2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案) 1答案

210kk解析

通项为Tk＋1＝Cka，令10－k＝7，

10x－3∴k＝3，∴x7项的系数为C310a＝15，

11∴a3＝，∴a＝. 82题型二

二项式系数的和与各项的系数和问题

例3 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________. 答案

3 解析

设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，

①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.

②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3. (2)(2018·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

答案

1或－3 解析

令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，

又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，

∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，

∴m＝－3或m＝1. 1x2－n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则(3)若xa1＋a2＋…＋an的值为________．

答案

255

1x2－n展开式的第k＋1项为

解析

x12n－k－k

Tk＋1＝Ck·n(x)xk2n＝Ckn(－1)x－3k，

当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8. 对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，

令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256. 又当x＝0时，a0＝1，

∴a1＋a2＋…＋a8＝255. 思维升华

(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为f1＋f－1f1－f－1a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 22跟踪训练2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.

①

令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.

②

(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2，

－1－37得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. 2(3)(①＋②)÷2，

－1＋37得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. 2(4)方法一

∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二

|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187. 题型三

二项式定理的应用

例4 (1)设a∈Z且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a等于(

) A．0

B．1

C．11

D．12

答案

D 01解析

512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C2 012·522 012－C2 012·522 011＋…＋C2 01152·(－1)2 011＋2 012·2 012C2 012·(－1)2 012＋a，

∵C0522 012－C1522 011＋…＋C2 01152·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，

2 012·2 012·2 012·∴C2 012(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12. 2 012·2i1232 0172 017(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则C2 017x＋C2 017x2＋C3等于(

) 2 017x＋…＋C2 017x1－iA．i

B．－I

C．－1＋i

D．－1－i 答案

C 2i1＋i2i解析

x＝＝＝－1＋i，

1－i1－i1＋i12332 0172 017C2 017x＋C2

2 017x＋C2 017x＋…＋C2 017x＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1. 思维升华

(1)逆用二项式定理的关键

根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．

(2)利用二项式定理解决整除问题的思路

①观察除式与被除式间的关系；

②将被除式拆成二项式；

③结合二项式定理得出结论．

2233kkk1010跟踪训练3 (1)(2018·泉州模拟)1－90C110＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10除以88的余数是(

) A．－1

B．1

C．－87

D．87 答案

B 2233kkk10101010解析

1－90C110＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10＝(1－90)＝89＝(88＋11)10＝8810＋C10889＋…＋C91088＋1，

∵前10项均能被88整除，∴余数是1. a1a2a2 018(2)若(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，则＋2＋…＋2 018＝________. 222答案

－1 解析

当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1. 1a1a2a2 018当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋2＋…＋2 018，

2222a1a2a2 018∴0＝1＋＋2＋…＋2 018，

222

a1a2a2 018即＋2＋…＋2 018＝－1. 222

2x2－6的展开式中，常数项为(

) 1．(2018·贵港联考)在xA．－240

B．－60

C．60

D．240 答案

D 22k26－k12－3kx2－6的展开式中，－k＝(－2)kCk解析

通项公式为Tx，令12－3k＝0，＋1＝C6(x)k6xx得k＝4，故常数项为T5＝(－2)4C46＝240，故选D. 12x－5的展开式中x3项的系数为(

) 2．(2018·南宁联考)xA．80

B．－80

C．－40

D．48 答案

B 15－k1k5－kk5－2k2x－5的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck－＝(－1)k·解析

(2x)·2·C5·x，令5－2k＝3，5xx1得k＝1.于是展开式中x3项的系数为(－1)·251·C5＝－80，故选B. －3．(2018·广州海珠区模拟)(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为(

) A．－80

B．－40

C．40

D．80 答案

D 6k解析

(2x－y)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck(－y)k，当k＝2时，T3＝240x4y2，当6(2x)－k＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D. 4．(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为(

) A．21

B．35

C．45

D．28 答案

B kkkk5566564解析

∵Tk＋1＝Ckn(3x)＝3Cnx，由已知得3Cn＝3Cn，即Cn＝3Cn，∴n＝7，因此，x的二项式系数为C47＝35，故选B. 5．(4x－2x)6(x∈R)展开式中的常数项是(

) －A．－20

B．－15

C．15

D．20 答案

C 解析

设展开式中的常数项是第k＋1项，则Tk＋1＝Ck(4x)6k·(－2x)k＝Ck(－1)k·212x6·6·－－－2kx·2－kx＝Ck(－1)k·212x6·－3kx，

∵12x－3kx＝0恒成立，∴k＝4，

∴T5＝C4(－1)4＝15. 6·

6．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为(

) 57A．－4

B.

C．4

D.

22答案

C 解析

∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4项的系数为4a－1＝15，∴a＝4. ax2＋7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的7．(2018·长郡中学质检)若二项式x系数为(

) A．560

B．－560

C．280

D．－280 答案

A ax2＋7的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解解析

取x＝1，得二项式x2227－kk14－3kx2－7的展开式的通项为Tk＋1＝Ck－k＝Ck得a＝－2.二项式·(x)··(－2)·x.令77xx24x2－7的展开式中含x2项的系数为C414－3k＝2，得k＝4.因此，二项式·(－2)＝560，故7x选A. 8．(2018·益阳市、湘潭市调考)若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(

) A．22 018－1

C．22 018

答案

B 解析

由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B. 9．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.(用数字作答) 答案

10 解析

f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，

5k它的通项为Tk＋1＝Ck·(－1)k，

5(1＋x)－B．82 018－1 D．82 018

323T3＝C25(1＋x)(－1)＝10(1＋x)，∴a3＝10. bax2＋6的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝________. 10．若x答案

0 b6－kk12－3kax2＋b6ax2＋6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck解析

a·bx，令12－3k＝3，则k＝3，∴6xx33的展开式中x3项的系数为C36ab＝20，∴ab＝1，

∴log2a＋log2b＝log2(ab)＝log21＝0.

11．9192除以100的余数是________．

答案

81 921919029192解析

9192＝(90＋1)92＝C09290＋C9290＋…＋C9290＋C9290＋C92＝k×100＋92×90＋1＝k×100＋82×100＋81(k为正整数)，

所以9192除以100的余数是81. 12．(2018·南阳模拟)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝__________.(用数字作答) 答案

364 解析

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，

令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1，

36＋1∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝. 2令x＝0，得a0＝1，

36＋1∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364. 2

13．(2018·珠海模拟)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于(

) A．45

B．60

C．120

D．210 答案

C n解析

因为f(m，n)＝Cm6C4，

所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) 0211203＝C36C4＋C6C4＋C6C4＋C6C4＝120. 1x－n(n∈N*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分14．(2018·衡水模拟)已知2x别为p，q，则p＋64q的最小值为________．

答案

16 164解析

显然p＝2n.令x＝1，得q＝n.所以p＋64q＝2n＋n≥222即n＝3时取等号，此时p＋64q的最小值为16.

12x＋－35的展开式中常数项是________．

15.x答案

－1 683 112x＋－35表示五个2x＋－3相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种解析

xx64642n·n＝16，当且仅当2n＝n，22

1112222x＋－3中分别抽取2x,2x，，，是从五个－3，则此时的常数项为CC3·2·(－3)＝－360，5·xxx12x＋－3中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况第二种情况是从五个x111132x＋－3中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C1是从五个·C·2·(－3)54xx＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683. x＋2n16．若展开式中前三项的系数和为163，求：

4x(1)展开式中所有x的有理项；

(2)展开式中系数最大的项．

2解

易求得展开式前三项的系数为1,2C1n，4Cn. 2由题意得1＋2C1n＋4Cn＝163，可得n＝9. (1)设展开式中的有理项为Tk＋1，

由Tk＋1＝Ck9(x)9－k183k2kkk4＝2C9x4，

x又∵0≤k≤9，∴k＝2,6. 故有理项为T3＝2CxT7＝2Cx6691836422918324＝144x3，

＝5 376. (2)设展开式中Tk＋1项的系数最大，则

kkk1k12C9≥2C9，kk

k－1k－12C9≥2C9，＋＋

1720∴≤k≤，

33又∵k∈N，∴k＝6，

故展开式中系数最大的项为T7＝5 376.