1.3 二项式定理（通用）教学教案设计

1.3.1二项式定理教学设计

广东高州中学 葛玉锋

一

、教学目标

1.知识与技能：

(1) 能利用计数原理证明二项式定理； (2) 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2. 过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。

3. 情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的内容及应用

难点：二项式定理的推导过程及内涵

三、学情分析

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，

把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方1

法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

四、教学手段：多媒体

五、教法、学法：探究、合作、讲授

六、课型：新课

七、教学过程

(一）复习引入

初中学过的完全平方公式是什么？

(ab)2a22abb2

om](ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3

(ab)4(ab)3(ab)?

(ab)100?

……

那么(ab)的展开式是什么？n[来源:Zxxk.Com]

(二）探究发现

探究一：(ab)2(ab)(ab)

aaabbabb

22 a2abb

从上述过程可以看出(ab)2是2个(ab)(ab)相乘，根据多项式的乘法法则，每个(ab)在相乘是由两种选择，选a或b选，而且每个(ab)中的a或b选定后，才能得到(ab)2展开式的一项。根据分步乘法计数原理，在合并同类项前(ab)2展开式共有2222项，合并后共有3项，分别为a2,ab,b2。

2

①对于a2项，是由2个(ab)都不选b得到的，所以a2出现的次数相当于2个(ab)从取0个b的组合数C20，即a2的系数为C20

②对于ab项，是由1个(ab)选a，1个(ab)选b得到的，由于ab的选法也随之确定，选定后，所以ab出现的次数相当于从2个(ab)11中取1个b的组合数C2，即ab的系数为C2；

③对于b2项，是由2个(ab)都选b得到的，相当于从取2个(ab)取2个b的组合数C22，即的系数为C22。

02122所以(ab)2C2aC2abC2b

探究二：引导学生模仿上述过程推出(ab)3，(ab)4的展开式

02122归纳总结：(ab)2C2aC2abC2b

0312233(ab)3C3aC3abC3ab2C3b

0413222344(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b

分析：(ab)2展开整理后共有3项，分别为a2,ab,b2，系数为012；

C2,C2,C2(ab)3展开整理后共有4项，(ab)3展开整理后的项分别为a3,a2b,ab2,b3

123 系数为C30,C3；[来源:学|科|网]

,C3,C3(ab)4展开整理后共有5项，(ab)4展开整理后的项分别为a4,a3b,a2b2,ab3,b4

01234系数为C4。

,C4,C4,C4,C4探究三：问：(ab)5的呢，

，（ab)n的呢？(学生回答）0n1n1knkknn猜想：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

3

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是ankbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由kk个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cnk，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都ankbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由kk个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cnk，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

(三）导出结论

1）二项式地理

nn0n1n1rnrrn1(ab)nCnb(nN,r1,2,n)

aCnabCnabCnabn1Cn2）二项式定理的特征

①、公式的左边是二项式，右边是二项展开式，共有n1项，等式即为二项式定理；

②、二项式的次数为n,二项展开式每一项的次数也为n；

③、二项式定理展开式按字母a降幂排列，次数由n递减到0；按字母b升幂排列，次数由0递增到n．[来源:Zxxk.Com]

4

012kn④

二项式系数: 依次为Cn，这里Cnk(k0,1,,n)称为,Cn,Cn,,Cn,,Cn二项式系数. 与a、b无关。展开式项的系数与a、b有关。

⑤二项展开式的通项: 定理中的Cnkankbk叫做二项展开式的通项. 用knkkTr1表示.即通项为展开式的第k1项: Tk1=Cnab

(四）典例剖析

例1、用二项式定理展开

（1）(1x)6源:1寺（#科#网Z#X#X#K]

（2）(xy)5

112233445566解：（1）(1x)6C60x0C6xC6xC6xC6xC6xC6x

=16x15x220x315x46x5x6

（2）(xy)5x(y)5

1423324150 =C50x5(y)0C5x(y)1C5x(y)2C5x(y)3C5x(y)4C5x(y)5

=x55x4y10x3y210x2y35xy4y5

12n1变式训练：2nCn2n1Cn2n2(1)n1Cn2(1)n

解析：原式=2(1)n1

例2、求(2x)6的展开式中的

（1）第三项

（2）第三项的二项式系数

（3）第三项的系数

（4）含x2的项

5 1x

解：（1）T3C62()4(2x)222C62展开式的第三项是60

2x1x160

x2x2（2）第三项的二项式系数是C6215

（3）由（1）知第三项的系数是22C6260

（4）Tk1C6k()6k(2x)k2kC6kx2k6

依题意，得2k62

k4

4含x2的项是24C6x2240x2

1x（五）、巩固练习

1、求(13x)6的展开式中第4项的系数

2、求(x)7的展开式中x3的系数

3解：1、T4C6(3x)3540x3

2x所以，展开式中第4项的系数是-540. 2、Tk1C7k(x)7k()k2kC7kx72k

依题意，得72k3

k2

2展开式中x3项的系数是22C784

2x（六）、课堂小结

0n1n1knkknn1.

二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

（1）项数：共有n+1项

（2）二项式系数：kCn(k0,1,2n

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（3）项的系数：二项式系数与数字系数的积

（4）二项展开式的通项：Tk1Cknkknab

2.

思想方法

（1）

从特殊到一般的数学思维方式

（2）归纳、猜想、证明的数学方法 （3）用计数原理分析二项式的展开过程

（七）、课堂作业

巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 2，4（2）、（3）

思维拓展型作业：二项式系数C012knn,Cn,Cn,,Cn,,Cn有何性质．

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