3.1.2 复数的几何意义教学设计和教学实录

§3.1.2

复数的几何意义

【学习目标】

理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.

【重点难点】

重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

【知识链接】

复习1：复数z(x4)(y3)i，当x,y取何值时z为实数、虚数、纯虚数？

复习2：若(x4)(y3)i2i，试求x,y的值，

【学习过程】

※

学习探究

探究任务一：复平面

问题：

我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示. 类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式

，因为它是由实部

和虚部

同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.

结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.

新知：

1.复平面：以x轴为实轴，

y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.

显然，实轴上的点都表示

；除原点外，虚轴上的点都表示

. 复数的几何意义

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1.

复数的几何意义: 一一对应复平面内的点

；

复数zabi一一对应平面向量

；

复数zabi一一对应平面向量

. 复平面内的点

注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数.

2.

复数的模

向量OZ的模叫做复数zabi的模,记作|z|或|abi|.如果b0,那么zabi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值),由模的定义知: |z||abi|ra2b2(r0,rR)

试试：复平面内的原点(0,0)表示

，实轴上的点(2,0)表示

，虚轴上的点(0,1)表示

，点(2,3)表示复数

反思：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是

的. ※

典型例题

例1在复平面内描出复数23i，84i，83i，6，i，29i，7i，0分别对应的点.

变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).

小结：

一一对应复平面内的点Z(a,b).

复数zabi

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a27a6例2已知复数z(a25a6)i(aR)，试求实数a分别取什么值时，对应的点2a1（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线xy0上；（4）在上半平面（含实轴）

变式：若复数z(m23m4)(m25m6)i表示的点（1）在虚轴上，求实数m的取值；（2）在右半平面呢？

一一对应平面向量OZ.

小结：复数zabi

※

动手试试

练1. 在复平面内画出23i,42i,13i,4i,30i所对应的向量.

练2. 在复平面内指出与复数z112i，z223i，z332i，z42i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4.试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

【学习反思】

※

学习小结

1. 复平面的定义；

2. 复数的几何意义；

3．复数的模. ※

知识拓展

【基础达标】

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

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1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i（2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（

）

A．3

B．4

C．5

D．6 2. 对于实数a,b，下列结论正确的是（

）

A．abi是实数

B．abi是虚数

C．abi是复数

D．abi0

3. 复平面上有点A，B其对应的复数分别为3i和13i，O为原点，那么是AOB是（

）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．正三角形

4. 若z12i，则|z|

5. 如果P是复平面内表示复数abi(a,bR)的点，分别指出下列条件下点P的位置：

（1）a0,b0

（2）a0,b0

（3）a0,b0

（4）b0

【拓展提升】

1．实数取什么值时，复平面内表示复数z(m28m15)(m25m14)i的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线yx上？

2. 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2i（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数.（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.

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