1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球教学设计及教案分析

球内接多面体问题——巧用圆柱

（人教A版2003课标版

高中

数学

必修2 第一章

第1.3节习题课）

一、教学内容与学情分析

在近几年数学全国卷高考试题中，立体几何考察球体试题较多，主要以客观题形式出现。球体与多面体的结合，不但考察学生基础知识，而且考查学生空间想象、逻辑思维，以及运算能力等。考生对球体画法有一定难度，更别说想象了，所以对于广东学生来说难度是较大的。以下是近七年全国理科卷中与球体相关的题型与涉及考点分析：

年份

2017 2017 2016 2016 2015 全国卷

I III I III II 形式

填空题

选择题

选择题

选择题

选择题

内容

年份

全国卷

形式

内容

球与内接三棱锥

2013 I 选择题

球与多面体

球的体积

球与内接圆柱

球的体积

2012

选择题

球内接多面体

多面体的体积

球的体积与表面积

2011

填空题

球与截面

多面体的体积

球与外切多面体的体积

2010

选择题

球与内接多面体

球的表面积

多面体体积

球的表面积

本节课是高三立体几何的一节一轮复习课，基于学生在高二时已学习过简单几何体（包括柱、锥、台、球体）的体积、面积等相关知识，本课例作为对球体相关的高考题的剖析课，对学生空间想象能力要求较高，因此在教学设计上选择借助多媒体，通过3D动画，立足让学生感受、体验球自身内部结构的主要特征，及处理球与多面体不同位置关系时转化问题的主要方法——选择适当的补形方法，把陌生的立体问题模型转化为熟悉的立体几何模型进行处理。

二、三维教学目标分析：

知识与

技能

过程与

方法

（1）能选择适当的截面把立体图形转化为平面图形分析问题；

（2）能利用球截面相关性质解决与球内接圆柱、或与其相关的直棱柱、直棱锥等几何体的长度、面积、体积问题；

（1）分解问题，通过层层递进的设问及结合课件直观感受让学生体验知识建构过程，激发学习兴趣和积极性；

（2）适当给予学生动手合作处理问题机会，养成合作交流的良好习惯和主动学习的品质

情感态度

与价值观

（1）通过直观的动画，让学生从多个角度感受、体验球体内部结构的主要特征，鼓励学生多观察、多接触实物的几何特征，以此培养空间想象力，改变对立体几何的学习态度；

（2）学习过程中，通过对不同组合体的探索，让学生广泛参与、思考，培养学生严谨的思维习惯，科学的学习态度，感觉几何之美。

三、教学重点、难点：

教学重点

教学难点

掌握球截面相关性质，会选择适当的模型辅助转化分析问题。

在具体的问题中，如何根据条件的特征选择适当的模型来解决问题。

四、教学基本流程：

问题情境

温故复习

球内接圆柱处理技巧

球内接直棱柱处理技巧

球内接直棱锥处理技巧

巩固练习

球内接正四面体处理技巧

巩固练习

小结与引申

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五、教案过程设计：

环节

教学内容与课件展示

教师活动

学生活动

设计意图

情境分析近八年全国卷中球体考查的形式、题型及主引入

要考点. 强调球体考查的主要内容为截面性质、球与组合体的综合性问题. 在教师的展示中，体会解决球体问题的能力的重要性

让学生从整体上初步感受全国卷在球体考查方面的主要内容. 引入解决球体问题的主要工具：

问题1：（体积、表面积公式）

先引导学生类温故比平面垂径定复习

问题2：（球截面形状特征）

理获得球截面

球体被平面所截得截面为圆面. 的主要性质，并抽象问题3：（球截面主要性质）

借助该性质引模型

（1）球心与小圆圆心连线垂直于圆面；

导学生找出特（2）球半径R，小圆半径r，球心与圆面距离d，征三角形. 有rdR. 2224VR3、S4R2

3在教师的启发引领下，自主归纳球截面的两个重要性质，并直观感受R,r,d三者在量上的重要关系. 让学生能直观地感受球自身内部的结构特征，并准确认识球截面的两个重要性质，特别是R，r，d三个量之间的关系

模型应用

之1 圆柱

利用多媒体展示球及其内切圆柱，给予适时适当引导，帮学生抽象出其中的几何特征与数量关系

在教师的启发引领下，共同归纳在圆柱内切于球时，球半径、圆柱底面半径与高三者的数量关系

通过直观的课件，加深学生对球截面性质的了解，让学生了解圆柱内切于球时的几何特征

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环节

教学内容与课件展示

教师活动

学生活动

设计意图

模型应用

之1 圆柱

结合对模型的分析，启发引领学生自主解答，教师规范的表述

紧跟教师思路，利用已知模型完成练习，巩固对已有知识的理解与应用

通过实例强化对模型中涉及的本质方法的理解与应用

模型应用

之2

直棱柱

既要紧靠前面的教学环节继续给学生搭建拓展知识的框架，又要把类比、转化学习的机会交给学生自主完成，最后进行纠错解疑和规范指导．

在前面教学环改变学习方式，节的铺垫下，引在自主的动脑、导学生化归问动手中将获得题，并把求解过类比、化归等获程交由学生，既取新知的学习是向学生展现方法，养成自主知识的产生过学习的良好习程，又是突出对惯．

学生学习方法的指导

给予学生思维方向的引导，给出严谨规范的表述，帮助学生形成对所学知识的理论认识

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巩固训练

在教师的启发引领下，强化对棱柱化归圆柱模型的运用技巧，加深对本质方法的理解；

抓住随堂练习的机会，巩固方法，加深对模型的理解与应用

环节

教学内容与课件展示

教师活动

学生活动

设计意图

归纳小结

对球内接直棱柱问题一般方法作简要的总结

在教师总结中强化模型方法的应用技巧，掌握要领

为圆柱模型的初步应用作画龙点睛之笔

模型应用

之3

直棱锥

层层递进，联系前面知识，引导学生探求新知、获得能力，概括

直棱锥内接于球时存在的数量关系，把化归学习的机会尽量交给学生自主完成

改变学习方式，在自主的动脑、动手中将获得类比、化归等获取新知的学习方法，养成自主学习的良好习惯．

在引导学生化归问题的过程中，体验严谨的逻辑推理过程，既向学生展现知识的产生，又是突出对学生学习方法的指导

引导学生对问题进行分析，将问题交由学生自主解答

在教师的引导下，体验化归问题的过程

变式训练，抽象本质

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环节

教学内容与课件展示

教师活动

学生活动

设计意图

模型应用

之4

对棱相等四面体

一方面设疑引思，引导学生探求新知、化归问题，一方面启发学生思维、开拓思路，展开想象与联想，寻求解决路径

正四面体无法在教师引导下，直接补形为直结合前面内容棱柱来处理，此尝试对正四面环节既可让学体进行补形，化生再次体验补归为前面模型，形的重要性，也创造性解决新为下节课介绍问题

球内接正棱锥问题时作铺垫

巩固训练

给予学生思维方向的引导，给出严谨规范的表述，帮助学生形成对所学知识的理论认识

在教师启发引领下，强化对特殊棱锥化归棱柱模型的运用技巧，加深对本质方法的理解；

抓住随堂练习的机会，巩固方法，加深对模型的理解与应用

归纳小结

总结在球体问题中常用工具，揭示处理球内接圆柱、直棱柱、直棱锥问题时的联系

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环节

教学内容与课件展示

教师活动

学生活动

设计意图

归纳小结

运用多媒体，更好地将本节课涉及的多个模型，直观地联系起来，形成较完整的知识方法链，帮助学生形成有效记忆，培养学生化归转化问题的能力

六、板书设计

球内接多面体问题——巧用圆柱

一、工具

1、球体体积、表面积公式

投影

2、球被平面截得圆面：大圆、小圆

（1）球心与小圆圆心连线垂直于圆面

（2）球半径R、小圆半径r与球心到圆

222

面距离d有Rrd

七、设计感想

本教案设计的指导思想是：让学生体会“化归”的重要基本思想。在各个模型讲解的过程中，借助直观的立体动画效果，帮助学生更好的建构各种几何体的特征，抓住圆柱这一共同载体，将重点放在“化归”方法上，着力培养学生的转化问题能力。

本教案设计思路是根据考纲要求以及教学内容之间的内在关系，通过例题及变式训练引导学生层层递进，从多角度探究问题并抽象出基本模型与方法，鼓励学生合作讨论。教师在课堂教学中，应从如何转化，如何作辅助线等方面作示范，并尽可能多的让学生参与例题的推理转化，力求让学生深刻理解相关模型之间的联系。

感谢您的阅读，祝您身体健康，阖家幸福！！

【作者简介】黄亿生，汕头市第一学校，中学数学一级教师。

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