复习参考题教案范文

《计数原理章节复习参考题》教学设计

湖州市第五中学教育集团 蔡

颖

一

课程目标、学习目标、本节教学目标

1课程目标

计数问题是初等数学的重点研究对象之一.分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和方法.在本章中，学生学习计数基本原理，排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题.本章是概率统计的基础. 2学习目标

2-1分类加法计数原理、分步乘法计数原理

通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据问题的特征，选择分类加法计数原理、分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题. 2-2 排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题. 2-3 二项式定理

能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题. 3本节教学目标

复习巩固运用两个计数原理，解决高考热点问题中的排列组合应用题和二项式定理应用，运用多角度、多方位、多层次地训练培养学生数学思维的灵活性，进而提高本节课复习的效率.

二教学重点、难点

教学重点：正确运用两个计数原理，在排队问题、染色问题、球与盒子问题、排数字问题中排列组合混合使用，和二项式定理的应用. 教学难点：理清计数问题中的数学逻辑，清晰且灵活使用两个计数原理解决排列组合混合问题，避免重复或遗漏等情况.

三

教法学法分析

教法分析：

在教学过程中，我主要采用了一题多解、一题多变、分类整理等.通过设置五个题型，归纳整理了高考热点问题.排列组合的教学对于学生的数学逻辑思维能力、推理分析能力以及数学建模能力等都有着至关重要的影响.教师应当积极采取有效的措施来优化排列组合的教学，从而有效地提高学生学习数学知识的质量. 学法分析：

排列组合题目的推理方法和解题方法是高中学生推理排列组合题目的规律，解答题目的关键手段，没有科学合理的解题思路和推理方法，学生即使花费再多的时间和精力，也无法进行排列组合知识的学习，掌握其精髓.为了真实有效地帮助学生，我采用了学案教学，课前学生认真完成，课上仔细分析错解，提高了习题课的教学效果.当然课堂时间有限，课后还要督促学生及时订正、归纳、整理等的后续学习，进一步落实了课堂的重点和分解了难点.

四

教学过程设计

1

引例 平面内有5个点，无三点共线. ①过任意两点可连多少条射线？

②过任意两点可连多少条直线？

【设计意图】用学生熟悉的数学背景回顾排列数、组合数的意义和公式.理解排列和组合的符号是在分步计数原理的基础上为简化运算而提出的.它们是为了一类计数问题的特点和规律而产生的简便计数方法.类比高中数学的数形结合思想，排列数和组合数具备了“数”的运算，还有着不同于直观“形”的特点.它们是体现数学思维理解，有着现实意义的抽象性，是高中数学的难点之一，也是本章的难点.二项式定理赋予了组合数在代数问题上的另一种意义.

问题：回顾学习排列数和组合数的意义和公式，我们解决排列组合问题时一般方法有哪些？

答：①列举法；②找标准；③特殊法（特殊元素和特殊位置）；④相邻捆绑不相邻插空；⑤正难则反（集合的思想）；⑥定序问题用除法；⑦分排问题直排法；⑧混合问题先选后排、先分堆后排列；⑨相同元素插板法隔板法；⑩化归策略等.

（一）

排队问题中两大计数原理的应用

例1 某校给高三年级学生开设讲座，其中数学学科讲座4节，物理科讲座2节，语文科、英语科、化学科讲座各1节，并且要求：英语科讲座前后必与数学科讲座相邻，两节物理科讲座不能连排，语文科讲座不能安排在最后一节，那么满足条件的讲座安排表（同一学科不加区分）的种数为 （用数字作答）. 分析：在此问题中包含了排列组合的有序和无序问题、相邻和不相邻问题，不在问题，显然用捆绑法、插空法等单一方法难以奏效.故先采用转化的策略，把比较复杂的排列组合问题等价转化成另一个新问题，通过对新问题的研究达到顺利解决原问题的目的. 用字母S,W,Y,y,H分别代表数学科、物理科、语文科、英语科、化学科，由于题目要求英语科讲座前后必与数学科讲座相邻，故将SyS捆绑作为一个大元素，用D来表示，这样的题目等价于下面的问题. 问题 由7个字母D,S,S,W,W,Y,H排成一列，且字母Y不在最后一个位置，两个字母W不相邻，求满足条件的单词的个数. 【设计意图】转化策略（同时用到了捆绑策略）使问题变得简单，通过变更命题的形式、背景等方式和转换等手段把不熟悉、不常规、复杂的问题转化为熟悉、常规、简单甚至模式化的问题，这样更容易解决问题.

解法1 插空法

由于两个字母W不相邻，所以把它插入D,S,S,H中，但务必要考虑两个字母W和字母Y的关系.故按“两个字母W与Y都不相邻”、“两个字母W与Y捆绑两种”，在插入以上四个字母中.

+ 两个字母W与Y捆绑（WYW）

两个字母W与Y不相邻

2211

A4(C5C6C5)780

2

22错解预测：在先排好四个字母D,S,S,H（A4种）后，学生会插入两个字母W（C5种），1221最后再插入字母Y且不放在最后一个（C6种），故共有A4C5C6种.这种错误比较隐蔽，遗漏了两个字母W恰有字母Y的情况. 解决办法：在使用插空法策略时，要特别注意元素是相同无序还是不同有序，两侧空隙是否可用，应准确理解题意，分清有序与无序，选对构造的模型，这是正确求解的前提，切不可对看似熟悉的题目采用定势思维，茫然照搬一些解答方法.

解法2 特殊法

解法2-1特殊元素法

把字母Y和两个字母W都作为特殊元素，先放置字母Y，再放置两个字母W，最后放置剩余的四个字母，四个字母放置种数是A4.

Y在1号位

+

在2号位

+ 在3号位

+

在4号位

+ 在5号位

+ 在6号位

[(C25)(C24C1)(3C1C1)(2C1C1)(3C1C1)(C24C1)]A2780655243342554

错解预测：学生在放置两个字母W时，会忽略两个字母W在字母Y异侧的情况，同时补集法的细节处理易错.

解决办法：

在分类讨论时一定要耐心，尤其在放置两个字母W时，又分为在字母Y的同侧和异侧之分.

解法2-2 特殊元素法

由于字母Y不能放最后，自然把字母Y作为特殊元素.故按“字母Y放在四个字母2D,S,S,H最后一个”，和“不放在四个字母D,S,S,H最后一个”两种.

字母Y在最后一个

+ 字母Y不在最后一个

DSSHY

+ DSSYH

ACCAC780

2415142426错解预测：先把字母Y放置在四个字母D,S,S,H中时，易忽略字母Y位置的讨论，同时字母Y的位置也会影响到放置两个字母W的位置. 解决办法：此解法在上一种解法的基础上再一次进行分层，先排字母Y，后排两个字母W.在特殊元素法主流层下使用插空法次流层，使得思路更清晰明了.

解法2-3 特殊位置法

由于字母Y不能放最后一个，那么最后一个位置就是一个特殊位置.最后一位可以由字母D,H,S,W放置.由于字母D,H身份地位一样，故可以放一起考虑.故分成三种情况考

3

论.

最后是D或H

+ 最后是S

+ 最后是W

错解预测：此题的分类不易错，错在剩余字母的排列，相在同元素无序问题和不同元素的有序问题会发生重复计数. 解决办法：在相同元素和不同元素共同排列时，要注意先后顺利，避免“重复”问题.

解法2-4特殊元素和特殊位置法联合使用

按特殊位置即最后一个位置分，分成最后一个是字母W和不是字母W两种情况讨论.在最后一个字母不是字母W时，先在前6个位置排好两个字母W，然后剩余前4个位置排13212字母Y，最后排剩余的字母.于是得到了

C5A5(C65)C4A4780. CACACAC78012242544253515错解预测：这个方法对学生思维要求较高，对于最后一个字母不是字母W的情况，剩余字母的先后排列顺序较难，极易发生混乱.

解决办法：在使用分类计数原理时，要避免遗漏，根据自身的学习习惯，排列相同元素和不同元素的先后顺序.

解法3 集合思想

解法3-1 用两个字母W相邻的情况，剔除掉两个字母W相邻且字母Y在最后一个的情况.3222得到了A5C6A4C5780. 解法3-2 用字母Y不在最后一个的情况，剔除掉两个字母W相邻且字母Y不在最后一个122213的情况.得到了C6A6C4C2C5A5780. 解法3-3 设集合U{字母D,S,S,W,W,H,Y排成一列}，集合A{其中两个字母W相邻}，集合B{其中字母Y在最后一个}，于是 7665A7A6A6A5Card(U)Card(A)Card(B)Card(AB)222222780. A2A2A2A2A2A2错解预测：正难则反（补集法）方法的使用时，学生搞不清楚全集是什么，补集是什么，以至于造成总数错误，多减，少减等情况发生. 解决办法：集合思想在解决有限制性的排列计算问题时，思路明确.方程程序化，可操作性强，且不易出错，是一个十分重要的工具，若能结合文氏图求解，求解就更直观，不足之处就是整个流程较为复杂，而且求解集合交集问题也可能是一个较为复杂的综合题. 【设计意图】排列组合的综合应用是本章的难点之一，方法多，学生易逻辑混乱，重复和遗漏的情况常常发生.所以这里采用一题多解的方法，多角度地解决同一个问题，把排列组合中特殊元素和特殊位置优先法、相邻捆绑不相

4 图1

邻插空、定序问题用除法、正难则反策略、化归策略等方法运用其中，始终贯穿两大计数原理.

（二）

染色问题中两大计数原理的应用

1平面染色问题 例2（2003年江苏）某城市中心广场建造了一个花园，花园分为6个部分（如图1），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种（用数字作答）. 解法1：平面涂色问题一般按相邻区域一块接一块的涂，如

图1，先涂⑥，接着涂⑤，然后涂①，在涂②时开始分类讨论，与⑤是否同色，若②⑤不同色，继续分③⑤是否同色，最后涂④.

+ ②⑤不同色

②⑤同色

③⑤同色

+ ③⑤不同色

432(2121)120

错解预测：在用此方法时，学生找不到讨论的节点，即不知道应该从哪片区域的颜色开始讨论，往往只考虑相邻区域不同色，不顾之后区域的颜色情况.这里学生就不会先讨论②⑤是否同色问题，而直接讨论③⑤是否同色问题.

解决办法：两两相互相邻的三块区域一定不同色，当中间存在相隔区域时，一定要分类讨论，若再有相隔区域，继续讨论，就像本题分类计数原理用了两次.当然，为避免错解，当所涂区域的颜色讨论不清时，最简单的方法用列举法，因染色问题所需用的颜色一般都不多.

解法2：根据图形按所涂色的种数分类，可知不可能出现3个区域种相同颜色的花的情形.由于6个部分，需要种4种颜色的花，所以必然出现2组区域（每组区域包含2个区域）中每组区域内种相同的花.能够栽种相同颜色的花的区域有5组，即②④、②⑤、③⑤、③⑥、④⑥.当区域②④内种相同的花时，2组区域（③⑤、③⑥）中只有1组区域种相同颜色的花，所以这种情形下，有2A4种不同的栽种方法.同理，当4组区域（②⑤、③⑤、③⑥、④⑥）中任意1组区域内种相同颜色的花时，都有2A4种不同的栽种方法.故共有452A4120种不同的栽种方法. 244错解预测：按颜色分类讨论时，整体区域的规划意识较高，学生找不到同色区域的5组情况，还要避免重复. 解决方法：对平面图形的特点要熟悉，颜色分布区域情况要明朗，整体意识要强烈.

S2立体几何中的染色问题

例3 如图2用4种颜色涂一个四棱锥SABCD，要求相邻的点、

A棱、面不同色，问涂各顶点有 种，涂各条棱有 种

D（共顶点的棱涂不同颜色），涂各个面有 种. BC

5 图2

解析：由于立体几何的图一般比平面复杂，所以一般采用按

涂色种数分类. ①

涂顶点

按恰用3种颜色涂和恰用4种颜色涂，当恰3种颜色涂时，选出3种颜色涂S,A,B三个顶点，剩余的两点顶点C,D只有1种情况了，即A4种；当恰4种颜色涂时，先涂S,A,B三31331个顶点，第四种颜色一定涂C,D中的一个，得到A4C2种，故共有A4A4C272种. 3②

涂棱

由于SA,SB,SC,SD共顶点，所以涂四种不同的颜色，底面四条边的棱因此只有2种情况了，所以2A448种. ③

涂面

根据颜色种数，分恰有3种颜色和恰有4种颜色涂.当恰有3种颜色涂时，4个侧面必定用两种颜色涂，且相对面同色，有A4C2种；当恰有4种颜色时，4个侧面涂3个颜色，必定3112有一种颜色涂两个面，底面涂剩余的一个颜色，有C4C3C2A2种，故共有213112A4C2C4C3C2A272种. 214错解预测：立体几何的图形比平面图形复杂，相邻的点、线、面较多，情况复杂，学生若按区域涂色会发生重复的情况较多. 解决办法：在立体几何染色问题中，一般按涂色种数进行分类. 【设计意图】染色问题也是高考热点之一，常用两种方法：一种按相邻区域涂；一种按所需涂色种数分.两大基本题型，平面涂色和立体几何涂色.两者难点都在于在分类计数原理的应用. （三）

球与盒子问题中两大计数原理的应用

例4 现在有5个球和3个盒子，把球全部放入盒子里去. ①球相同，盒子不同，且盒子不能空；

解析：插板法 5个相同的球排在一条直线上，形成的4个空中插入2块板子，这样恰好把5个球分为3份，并从左至右将第1份放入标号为1的盒子，第2份放入标号为2的盒子，第3份放入标号为3的盒子，此时每种插入板子的方法唯一对应1种分球入盒的方法，故把5个相同的球放入3个不同的盒子中（每个盒子中至少有1个球）的方法数等于从4个空中取出2个空并插入板子的组合数，即

C46. ②球相同，盒子不同，且盒子可以空；

解析：隔板法 将5个相同的球排在一条直线上，加入2块隔板，则可将这5个球分成3个部分，每个部分的球对应放入盒子.隔板可以相邻放，可以放5个球的最左端或最右端.因此把隔板也看做排列的元素，7个位置中选择2个位置放隔板，即C721种. 22

6

评注

插板法和隔板法的区别：插板不可相邻且不可放在头尾，而隔板既可相邻又可放在头尾.这个区别决定了插板与隔板所选的位置不同. ③球不同，盒子相同，且盒子不能空；

解析：分堆问题

把5个不同球分成3堆，每堆至少有一个球.所以各堆数的数量有两种情形：1、1、3113122C5C4C3C5C4C2和1、2、2.故共有25种. 22A2A2④球不同，盒子相同，且盒子可以空；

解析：分类分堆问题

由于盒子相同，若没有空盒子，则只需把5个球分成3堆（同③情况）；若只有1个空盒子，则只需把5个球分成2堆，有2种情形：1、4和2、3；若有2个空盒子，则需把5个1423球放一起，只有1种.故共有25(C5C4C5C3)141种. ⑤球不同，盒子不同，且盒子不能空；

解析：先分堆后排列

此类问题不仅要求“球”必须放完，而且要求每个盒子不空.求解此类问题时，首先要考虑分配情况，然后再考虑球的搭配、盒子的选择，即我们平时所说的先分堆后排列.5个3球分成三堆，每堆至少1个球，有题③知，有25种分法，故共有25A3150种. ⑥球不同，盒子不同，且盒子可以空. 解析：找标准

此类问题中球必须都放进盒子，因此按球分步，把“一个球放进盒子”作为第一步，共5步，每一步都有3种不同的放法，所以共有3243种.解此类问题的关键在于分清楚谁是球，判断标准为“球”必须都放完. 错解情况：学生会发生不同的题式子和答案却相同的情况，学生自身就会发生这些错误的存在，类似题目的比较中可改进解题的缺陷. 解决办法：这6小题要学会比较和整理，发现类似问题的本质区别，从而采取对应的方法解决，作为模型加强理解和意义. 【设计意图】球和盒子的问题是极易逻辑混乱的一类计数问题，也是高考热点问题.这里采用一题多变的形式，归纳整理了这一类型的所有情况，提高复习课的课堂效率.

（四

）数字问题中两大计数原理的应用

例5（2009天津卷）用数字06组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位、百位上的数字之和为偶数的四位数共有 种. 解析：把数字排成几位数的问题，都要注意最高位的数字不能为0.于是，本题按千位是奇数和非零偶数进行分类讨论.

+ 首位为奇数

首位为非零偶数

13131213

C3(C4C4)A3C3(1C3C3)A3324

错解情况：学生可能会不注意首位不能为0，其次在首位取完奇数或偶数后，剩余的奇数和偶数会发生变化.

7 5

【设计意图】排列组合的数字问题一般出现的问题是“0”的问题和数字是否重复的问题.

（五）

活用二项式定理

1比较大小

1例6已知xy1，在nN*时，比较xy与2nnn1的大小. 11t，yt，于是

22111101n21n241n4xnyn(t)n(t)n2[Cn()Cn()Cn()]2()n()n1

22222221n1评注 使用换元策略转化问题，利用二项式定理将结论放缩到()上来. 2解析：令x

2整除问题

例7已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an3，bn4n3，（nN*）将两个数列的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{cn}，求{cn}的通项公式. 解析：由于数列{cn}由数列{an}和{bn}的公共项组成，那么必有ambn，即34n3，整理得nmn1m1(33)[(41)m3]N*，则(41)m3必能被4整除.由二项式定理44m1知0m1m1m1m(41)m3Cm4Cm4Cm4(1)m1Cm(1)m34[C40mC41mm2Cm1m(1)m1]C(1)3mmm

于是当且仅当m为奇数，即m2k1(kN*)时，n才是整数，故cn32n1(nN*). 评注

此题由数列公共项转化为整除问题是此题的关键. 【设计意图】二项式定理处于排列组合和概率的交汇处.二项式定理的高考考点涉及项、系数、二项式系数和性质，二项式定理的应用等.历年高考在考察这一知识点时，题目难度都不大，但在自主招生和数学竞赛中题目就比较难.由于我们本节课复习的方向是高考，故题目难度的设置不是很大，让学生体会一些不同视角的二项式定理应用.

（六）课堂练习

1.（2004年辽宁卷）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排两人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是 （ B ）

A.234 B.346 C.350 D.363 【设计意图】此题用到排列组合的方法中的先选后排，直接法和间接法.作为前面例题中没有涉及到方法的补充. 2.（2008年重庆卷）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）要如图所示的六个点A,B,C,A1,B1,C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种

8

颜色的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 216 种（用数字作答）. 【设计意图】该题较简单，看清题目的同时让学生体会染色问题中的成功. 3.(2014年浙江卷）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 60 种. 【设计意图】球与盒子问题在高考题中的应用.

4.（2004年全国卷）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （ C ）

A.56个 B.57个 C.58个 D.60个

【设计意图】在数字问题的排列组合中，此题比较新颖.

5.（2008年辽宁卷）已知(1xx)(x21nnN*且2n8，)的展开式中没有常数项，3x则n 5 【设计意图】在历年考察二项式定理的高考题中较有新意的一题.

（七）课堂小结

1.排列数、组合数概念公式的回顾；

2.排列组合的方法；

3.活用二项式定理

本章的所有知识始终贯穿是两大计数原理，包括排列组合的实际应用意义和二项式定理组合数“数”的意义.

（九）作业

课本P40 A组1-7题

（十）板书设计

五

本节课的课后反思

本节课我针对学生的典型错误进行仔细剖析，并在错解的基础上进行错解延伸，之后小结方法，提高了章节复习习题课的课堂效果.由于注意了以学生为主体，结合学生作业进行了二次备课，崭新的教学设计收到了较好的教学效果.如在例1的排队问题中蔡昕鹏同学的插空法“正中下怀”，有遗漏的情况.程文鸿同学的特殊元素法，讨论字母Y在不在最后一个的情况发生了错误，少乘了字母Y放置的种数4等教学素材，促使我在此基础上把特殊元素字母Y进行细致的分类，即字母Y分别放置1、2、3、4、5、6号位置，这种方法是学生都没有想到的，所以我把原来的教学设计中的解法2-1，解法2-2顺序进行了调整，其中正难则反（补集法）的方法起了预设作用.随后李修雅同学同样也是特殊元素法，但讨论的是字母W（解法2-4），但难度系数相比前一种高，所以易做错，在这错解上巧妙顺接了应用特殊位置法（解法2-3）来进行分类讨论，即讨论最后一个位置上放字母D,H,S,W.朱浩然同学用的是减法，用的是解法3-1，随后提供解法3-2，这与教学设计顺序一致.李开基同学尽管错误比较离谱，但式子中用了一个除法，结合前面的集合思想，自然的给出了用集合思想的解法（解法3-3）.

在平面染色问题中蔡昕鹏同学用的是按相邻区域涂色，但在区域③⑤是否同色没讨论，讨论还不够细致；张静涵同学用的是按颜色种数分，找对了五组同色情况，但五组的选取2组中出现了错误，并且没注意重复的情况.在立体几何染色问题中，同样的用以上两种方法，

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但点、线、面的情况较复杂，相比较下，总结用颜色种数分类较简单. 球与盒子问题中学生错的较多的是前两个小题，因平时的练习题遇到类似的不多，进行了重点讲解；后面的题出现的问题都在预料之中.我尝试从学生熟悉的知识背景出发，通过多种不同设问，引导学生对比思考，对排列组合解题策略进一步深刻体会. 数字的排列题目一般不难，程文鸿同学尽管分类分对了，但在排序问题上出了错，应先排最高位的数字再分类解决，题目思路的条理还不够清晰. 二项式应用的问题中高考题一般都比较常规，所以在本节课中我选择了一些题目比较新颖的，学生题2列式出来，但还是没有深入思考，猜想出来，故划归能力欠缺.这两题给学生展示了二项式有趣的活用，开拓思路.

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