二 一般形式的柯西不等式名师教学视频（文字实录）

一般形式的柯西不等式

学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法

重点难点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：

一．复习：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，则||||||，为平面上的两个向量，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2

二．新课

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当

α ，

β

共线时，即

β0

，或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立.这就是三维形式的柯西不等式. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

4、定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，222222n）为任意实数，则：aii1n2bi(aibi)2，其中等号当且仅当2i1i1nnbb1b2n时a1a2an成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

证明：构造二次函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2

即构造了一个二次函数：f(x)(ai1n2i)x2(aibi)xbi

22i1i1nn由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，

nnn即：4(ab)iii124(ai)(bi)0，

22i1i1

即：(ab)iii1n2(ai)(bi)，

22i1i1nn等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0，

即等号当且仅当。

n）bb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，a1a2an如果ai（1in）全为0，结论显然成立。

二、典型例题：

例1、

已知a1,a2,…,an都是实数，求证：1222(a1a2an)2a1a2an

n分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例2、

已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da

分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

例3、已知 x2y3z1,求 x2y2z2

的最小值.分析：由

x2y3z1以及

x2y2z2

的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求149的最小值。

xyz

2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。

3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求3a2bc的最大值。

选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）

5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求111的最小值。（08东莞二模）

abc

6．已知x+y+z=25，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研) 三、小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。

五、作业：