一 数学归纳法特级教师教学实录

第四讲 数学归纳法证明不等式

课题：第01课时

数学归纳法（一）

教学目标：

1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；

2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。

教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。

教学过程：

一、创设情境，引出课题

（1）不完全归纳法：

今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？

（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）

（2）完全归纳法：

一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？

（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。）

注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。

结论：不完全归纳法→结论不可靠；完全归纳法→结论可靠。

问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）

情境一：（播放多米诺骨牌视频）

问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？

二、讲授新课：

探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？

条件一：第一张骨牌倒下；

条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。

探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明n(n1)(2n1)122232…+n2有些启发？ 6n(n1)(2n1)得出结论：证明122232…+n2的两个步骤：

6（1）证明当n1时，命题成立；

（2）假设当nk(k1,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时，命题也成立。

只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述方法叫做数学归纳法。

三、应用举例：

例1用数学归纳法证明：135…+(2n-1)=n2

证明：（1）当n1时，左边1，右边121，等式成立；

（2）假设当nk（k≥1,kN*）时，135…+(2k-1)=k2，那么：

135…+(2k-1)+(2k+1)=[12(k1)1](k1)

(k1)2，则当nk1时也成立。2*根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。

须利用nk的归纳假设， 注：①对例1，首先说明在利用数学归纳法证题时，当nk1时的证明必例2：用数学归纳法证明求证：n35n(nN)能被6 整除. [证明]：1. 当n1时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；

2. 假设nk时命题正确，即k35k能被6整除，

∴当nk1时，(k1)35(k1)(k33k23k1)(5k5)(k35k)

3k(k1)6，

∵两个连续的整数的乘积k(k1)是偶数，3k(k1)能被6整除，

(k35k)3k(k1)6能被6整除，即当nk1时命题也正确，

由1,2知命题时nN都正确. 即：当nk1时，等式成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何nN*都成立。

注：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的

一般步骤。

四、巩固练习：P50练习题 第1、2题

五、课堂小结：

问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生总结，教师整理）

1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。

2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想；

3、数学归纳法一般步骤：

验证nn0时命题成*nk(kn,kN)时命题成0若 立

立，证明当nk1时命题也成立

归纳奠基 归纳递推

命题对从n0开始所有的正整数n都成立

4、应用数学归纳法要注意以下几点：

（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；

（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法；

（3）n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其它一些正整数；

（4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。

六、布置作业：P50练习题 第1、2、3题 七、教学后记：