1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教案推荐

高中数学选修1-2第一章

统计案例及练习

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）

(共2课时) 教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性. 教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K2的含义. 教学过程：

一、复习准备：

回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤. 二、讲授新课：

1. 教学与列联表相关的概念：

①

分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”. ②

列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一

不患肺癌

患肺癌

总计

般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列

7775

42

7817 不吸烟

联表称为22. 如吸烟与患肺癌的列联表：

2099

49 2148 吸

烟

2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念：

9874

91 9965 总

计由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.（教师在课堂上用EXCEL软件演示三维柱形图和二维条形图，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论）

3. 独立性检验的基本思想：

①

独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ②

独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）：

反证法

假设检验

要证明结论A 备择假设H1

[来源学科网][来源学科网ZXXK]在A不成立的前提下进行推在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下进行推理

理

推出矛盾，意味着结论A成立

推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超过的事件）发生，意味着H1成立的可能性（可能性为（1－））很大

没有找到矛盾，不能对A下任推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设

何结论，即反证法不成功

③

上例的解决步骤

第一步：提出假设检验问题

H0：吸烟与患肺癌没有关系

H1：吸烟与患肺癌有关系

n(adbc)2第二步：选择检验的指标

K（它越小，原假设“H0：吸(ab)(cd)(ac)(bd)2烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步：查表得出结论

P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83

1

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（二）

教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性. 教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K2的含义. 教学过程：

教学过程：

一、复习准备：

独立性检验的基本步骤、思想

二、讲授新课：

1. 教学例1：

例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？

①

第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；

第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；

第三步：由学生计算出K2的值；

第四步：解释结果的含义.

②

通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广. 2. 教学例2：

例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

喜欢数学课程

不喜欢数学课程

总

计

37

85

122

男

35

143

178

女

72

228

300

总

计

由表中数据计算得到K2的观察值k4.513. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？

（学生自练，教师总结）

强调：①使得P(K23.841)0.05成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确；

②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；

③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算K2的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视.

3. 小结：独立性检验的方法、原理、步骤

不健康

健

康

总计

三、巩固练习：

41 626 667 不优秀

[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com][来源:学。科。网Z。X。X。K]某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？

优

秀

总

计

37 78 296 922 333 1000

2

生活中的独立性检验问题

独立性检验在实际生活中有广泛的应用，解决该类问题的关键是准确的运算。

例1 为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，调查结果如下表所示：

正常

色盲

男

442 38 女

514 6 根据上述数据，试问色盲与性别是否是相互独立的？

解析：由已知条件可得下表

正常

色盲

合计

男

442 38 480 2女

514 6 520 合计

956 44 1000 1000442638514 依据公式得K227.139。

95644480520 由于27.13910.828，∴有99%的把握认为色盲与性别是有关的，从而拒绝原假设，可以认为色盲与性别不是相互独立的。

评注：根据假设检验的思想，比较计算出的K与临界值的大小，选择接受假设还是拒绝假设。

例2 考察黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病的关系，调查了457株黄烟，得到下表中的数据，请根据数据作统计分析。

青花病

无青花病

合计

培养液处理

25 80 105 22未处理

210 142 352 合计

235 222 457 4572514280210 解析：根据公式得K241.61235222105352

3

由于41.6110.828，说明黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病是有关系的。

评注：计算K的值与临界值的大小进行比较即可。

练习：

1．在研究某种新药对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：

新措施

对照[来源:Z*xx*k.Com]2存活数

132

114 246 死亡数

18[来源:学科网ZXXK]合计

150 150 300

36 54 合计

试问新措施对防治猪白痢是否有效？

2．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，据此资料你是否认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机？

男性

女性

合计

答案：

1．提示：K7.3176.635，有99%的把握认为新措施对防治猪白痢是有效的

2．提示：K2.1492.706，我们不能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机

附加第一课时另一参考教案

22晕机

23 9 32 不晕机

32 25 57 合计

55 34 89 独立性检验的基本思想及其初步应用（第一课时）。

教学目标：1理解独立性检验的基本思想

2、会从列联表、柱形图、条形图直观判断吸烟与患癌有关。

3、了解随机变量K2的含义。

教学重点：理解独立性检验的基本思想。

教学难点；1、理解独立性检验的基本思想、

2、了解随机变量K2的含义。

教学过程：

一、引入：从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表，柱形图，和条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。但这种结论能否推广到总体呢？要回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析。

4

二、独立性检验就是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法：用字母表示吸烟与患肺癌的列联表：

不患肺癌

患肺癌

合计

不吸烟

a b a+b 吸烟

c d c+d 合计

a+c b+d a+b+c+d

样本容量

n=a+b+c+d

假设H0

:

吸烟与患肺癌没有关系。则吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即：

acacdcabadbc0abcd因此 : adbc 越小, 说明吸烟与患肺癌之间关系越弱.nadbc构造随机变量 k2 其中abcdacbdnabcd2

若H0成立,则K2应该很小. 把表中数据代入公式9965777549-422099K2=56.63278172148987491在H0成立的情况下.统计学家估算出如下概率PK26.6350.01即在H0成立的情况下,K2的值大于6.635的概率非常小.如果K26.635,就断定H0不成立,出错的可能性有多大?出现K2=56.6326.635 的概率不超过1% .因此,我们有99%的把握认为"吸烟与患肺癌有关系."2

三、作业：预习17页。

5