3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义名师教学设计2

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、教学目标：

1．掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义。

2．在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。

3．通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则。

二、重点难点：

重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。

难点：复数加减法的几何意义及其应用。

三、教法学法： 本节课采取自主探究式教学，这节课主要是复数的加减法运算，学生可以类比实数的加减法运算理解复数的加减法运算，让学生自主探讨例题1的解法，总结规律方法。在讨论复数加法的几何意义时，引导学生联想向量的加法并运用平行四边形法则来进行运算，复数减法的几何意义，可联想向量的减法运用三角形法则来进行运算。教学中应让学生对复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程做出探究。

四、教学过程：

1.

新课导入：

数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法。复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题。运算是“数”的最主要的功能，复数不同于实数，它是

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由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？

2.

讲授新课：

【问1】多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？

已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．

【总结】

两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即 ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，

②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.

【问2】复数的加法满足交换律和结合律吗？

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则

【总结】

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1 ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)

【问3】复数与复平面内的向量有一一对应关系，我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

→，OZ→分别与复数a＋bi，c＋di对应．

如图，OZ12

→，OZ→及OZ→＋OZ→，OZ→－OZ→的坐标．

（1）．试写出OZ121212→＝(a，b)，OZ→＝(c，d)，

【解析】

OZ12→＋OZ→＝(a＋c，b＋d)，

OZ12→－OZ→＝(a－c，b－d)．

OZ12→＋OZ→，OZ→－OZ→对应的复数分别是什么？

（2）．向量OZ1212→＋OZ→对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，

【解析】

OZ12

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→→OZ1－OZ2对应的复数是a－c＋(b－d)i.

【总结】

→，→四边形OZZZ①复数加法的几何意义：设复数z1，z2对应向量分别为OZ1OZ2，12为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是→OZ

→，→②复数减法的几何意义：设OZz2＝c＋di对应，1OZ2分别与复数z1＝a＋bi，→，OZ→不共线，则这两个复数的差z－z与向量OZ→－OZ→(即Z→且OZ1212122Z1)对应。

3.

例题：

例1：计算①(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i) ②(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)

【意图】使学生进一步了解复数加减运算的方法，及其满足的运算律。自主分析并求解，教师只需指导完善解答疑惑。

→及OZ→分别与复数z＝5＋3i及复数z＝4＋i对应，试计算z＋z，并例2：设OZ121212→＋OZ→. 在复平面内作出OZ12

【意图】引导学生画图，认识复数与向量的对应关系，联想向量运算的几何意义。

→＋OZ→. 【思路探究】

利用加法法则求z1＋z2，利用复数的几何意义作出OZ12→－OZ→. 【变式】在题设不变的情况下，计算z1－z2，并在复平面内作出OZ12【总结】

①根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算。

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②利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则。

③复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能。

4.

复数加减法的综合问题

例3：(1)|z－(1+2i)| (2)|z+(5+3i)| (3)|z－1| (4)|z+2i|

【思路探究】

利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．

【总结】|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解。

z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义。

五、课堂小结：

1.复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算。

2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则。

3.在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理。

4. 在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一。

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