探究与发现 组合数的两个性质教学实录及点评

组合数

建三江第二高级中学

孙蕾蕾

教学目标

1．知识目标

（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；

（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；

（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；

（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。

2．能力目标

认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。

3．德育目标

（1）用联系的观点看问题；

（2）认识事物在一定条件下的相互转化；

（3）解决问题能抓住问题的本质。

教学重点：排列数与组合数公式的应用

教学难点：解题思路的分析

教学策略：以学生自主探究为主，教师在必要时给予指导和提示，学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。

教学过程

一、知识要点精析

基本原理

1.分类计数原理：做一件事，完成它可以有

类办法，在第一类办法中有

种不同的方法，在第二类办法中有

种不同的方法，……，在第

类办法中有

种不同的办法，那么完成这件事共有：

…

种不同的方法。

2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成

个步骤，做第一步有

种不同的方法，做第二步有

种不同的方法，……，做第

步有

种不同的办法，那么完成这件事共有：

…

种不同的方法。

3.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关即“联斥性”：

（1）对于加法原理有以下三点：

①“斥”——互斥独立事件；

②模式：“做事”——“分类”——“加法”

③关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。

（2）对于乘法原理有以下三点：

①“联”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。

排列与组合的应用

1.排列的应用问题

（1）无限制条件的简单排列应用问题，可直接用公式求解。

（2）有限制条件的排列问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。

2．组合的应用问题

（1）无限制条件的简单组合应用问题，可直接用公式求解。

（2）有限制条件的组合问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。

3．排列、组合的综合问题

排列组合的综合问题，主要是排列组合的混合题，解题的思路是先解决组合问题，然后再讨论排列问题。

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：

限制条件的排列问题常见命题形式：

“在”与“不在”

“相邻”与“不相邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：

①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”，可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法。

②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。

③“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

④元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。

（2）限制条件的组合问题常见命题形式：

“含”与“不含”

“至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。

（3）在处理排列组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重复，不遗漏按事件的发生过程分类、分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列问题的最基本，也是最重要的思想方法。

4、解题步骤：

（1）认真审题：看这个问题是否与顺序有关，先归结为排列问题或组合问题或二者的综合题，还应考虑以下几点：

①在这个问题中

个不同的元素指的是什么？②

个元素指的又是什么？

②从

个不同的元素中每次取出

个元素的排列（或组合）对应的是什么事件；

（2）列式并计算；

（3）作答。

二、学习过程

考点一

特殊元素优先考虑

例一：

班级中有五个人站成一排，马赫，王珊，董海洋，王志明，王磊。要求董海洋必须排在两边共有多少种可能？

变式

1-1

四个人跑4*100的接力，如果甲不能跑第一棒，共有多少种参赛方案？

变式

1-2

四个人跑4*100的接力，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？

考点二

插空法问题

【例2】班级中有五个人站成一排，马赫，王珊，董海洋，王志明，王磊。要求女生必须分开共有多少种可能？

变式2-1

(2010·北京)8名学生和2位老师站在一处留影，2位老师不相邻的排法种数有(

) 变式2-2

班级中有五个人站成一排，马赫，王珊，董海洋，王志明，王磊。要求女生男生都必须分开共有多少种可能？

考点三

捆绑法问题

【例3】

班级中有五个人站成一排，马赫，王珊，董海洋，王志明，王磊。要求男生必须排在一起共有多少种可能？

变式3-1 ：

5名学生和两名教师照相排成一排，两名教师之间必须有一名学生的排法共有多少种？

考点四

平均分组问题

【例4】

将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封中，则不同的放法种数为(

) A. 12

B. 18

C. 36

D. 54 变式4－1 将5名实习教师分配到某年级的3个班实习，每班至少一名，至多两名，则不同的分配方案有(

) A. 30种

B. 90种

C. 180种

D. 270种

基础提高

有3名男生，四名女生，按下列要求，分别求出其不同排列和组合的种数

1）

选其中5人排成一行

2）全体排成一行，其中甲只在两头的位置

3）全体排成一行，其中男、女生各站在一起

4）全体排成一行，其中男生不能排在一起

5）从7人中选出5人，甲乙必选当选

6）从7人中选出5人，至少有2名女生

7）从7人中选出4人平均分成两组

小试身手

1. (教材改编题)5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有(

) 2. 在7,8,9三个数字及“＋”，“－”两符号的全排列中，任意两数字均不相邻的全排列有________种．

3. 由1,2,3，…，8组成无重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，7与8相邻，5与6不相邻，共有________种排法

4. 从4男3女中选三人从事不同的工作，若三人中至少有一名女生，则有________种选法．

5. 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有______种(以数字作答)．

《排列和组合的综合应用》多媒体教学的教师小结

数学教师在传统教学环境下也许会遭遇诸如以下的困难：

——我怎样向学生提供更多的相关的学习资料？

——我如何有效地进行课堂检测并及时反馈？

——我怎样让每个学生都参与讨论并且使讨论的结果都呈现出来？