1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优秀公开课教案

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(3月22) 一、教学目的：

通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用

二、教学重难点

重点：

对独立性检验的基本思想的理解及其应用

难点：

独立性检验的基本思想的理解

三、教学过程：

（一）引入课题

我们经常听到这些说法：

吸烟对患肺癌有影响；

数学好的人物理一般也很好；

性别与是否喜欢数学课程之间有关系；

人的血型会决定人的性格；

星座与人的命运之间有某种联系；

这些说法都有道理吗？

（二）新课传授

知识点一：分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等。分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义，如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”。

知识点二：列联表

为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：

吸烟与患肺癌列联表

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 像上表这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表. 知识点三：等高条形图

492.28％) 2148420.54％) 在不吸烟人群中患肺癌的比重是 (7817在吸烟人群中患肺癌的比重是 (从等高条形图可以看到：

吸烟者中患肺癌的比重要高于不吸烟者患肺癌的比重，所以是否患肺癌与是否吸烟有关。

知识点四：独立性检验

从等高条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。为了更加精准地判断两个分类变量是否有关系，我们可以从统计的观点来考查。

1

假设H0:是否患肺癌与是否吸烟无关。

把联表中的数据用字母表示如下：

吸烟

ab

c

cd

不吸烟

ac

abcd

总计

ac在吸烟者中患肺癌所占的比例，不吸烟者患肺癌的比例。

abcdac如果H0成立，那么即adbc即adbc0

abcd患肺癌

a

不患肺癌

总计

b

d

bd

adbc越小，吸烟与患肺癌之间的关系越弱；adbc越大，吸烟与患肺癌之间的关系越强。

为了更加客观准确地刻画这两个分类变量之间的关系，统计学家构造了一个随机变量

n(adbc)2，其中nabcd

K(ab)(cd)(ac)(bd)2若H0成立，则吸烟与患肺癌之间没有关系，则K应该很小。

这种利用随机变量K来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。

独立性检验的一般步骤是：

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：

2×2列联表

22y1

y2

b

d

总计

x1

x2

a

c

ab

cd

ac

bd

abcd

总计

第一步：提出假设检验问题H0：吸烟与患肺癌没有关系

H1：吸烟与患肺癌有关系

n(adbc)2第二步：选择检验的指标K（它越小，原假设“H0：吸烟与(ab)(cd)(ac)(bd)2患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大。

第三步：查表得出结论

P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83

2

独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）：

反证法

假设检验

要证明结论A 备择假设H1

在A不成立的前提下进行推理

推出矛盾，意味着结论A成立

在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下进行推理

推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超过的事件）发生，意味着H1成立的可能性（可能性为（1－））很大

推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设

没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功

(三）课堂练习：

1.研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名

女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的18名，不定的42名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名.问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用图形和独立性检验的方法判断. 解：根据题目所给数据建立如下列联表

性别

肯定

否定

总计

男生

22 88 110

女生

18 42 60

总计

40 130 170

170×（22×42－18×88）根据列联表中的数据得到K＝

≈2.158＜2.706 110×60×40×13022因此没有充分的证据显示“性别与态度有关”

2.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种病症有关.下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？

每一晚都打鼾

不打鼾

总计

解：根据列联表中数据，得到，

1633×（30×1355－224×24）K＝

＝68.033. 1379×254×54×157922患心脏病

30 24 54 未患心脏病

224 1355 1579 总计

254 1379 1633 因为68.033＞6.635，所以有99%的把握说，每一晚都打鼾与患心脏病有关

四、小结引申，构建体系

由学生谈本节课学习的收获，并对所学内容进行归纳。

【设计意图】初步形成以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。

五、目标检测设计

作业为课时训练2 【设计意图】通过作业进一步构建独立性检验的思想体系。

3

教学反思：

本节课是人教版选1-2第一章的第二课时的内容，是学生在学习了初中的统计知识以及高一必修2的统计知识，在学习了变量间的相关关系之后，新接触的又一统计知识，是高中数学中体现统计思想的重要篇章。本节课的重点是对统计量卡方K的统计意义的理解，以及依据统计量卡方K和观测值表来对两个二维分类变量是否有关系进行统计推断，其思想类似于反证法思想。难点在于对统计量卡方K2222的统计意义的理解，例如P(K26.635)0.010，说明两个二维分类变量独立的可能性只有0.010，说明两个二维分类变量有关系的可能性有0.99。K2.706，没有证据表明两个二维分类变量有关系。

从“抽烟与患肺癌”这个生活实例出发，体现了数学源于生活，又服务于生活，生活中处处都有统计思想。学生用统计量卡方K自主探究的分类变量是否有关系问题，体验数学的应用价值，增强学生的应用意识和对学习数学的兴趣。

2

4