1.3 二项式定理（通用）名师教学实录

《二项式定理（一）》教学设计

一、教学内容分析

《二项式定理》是高中数学人教A版选修2—3第三章第3节的内容，它是初中所学多项式乘法的延伸.在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除性问题、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面学习二项分布等内容的基础知识.二项式定理起着承上启下的作用. 二、教学目标

1.知识与技能

（1）理解并掌握二项式定理，能利用组合思想证明二项式定理；

（2）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项. 2.过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式. 3.情感、态度、价值观

培养学生的自主探究、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨. 三、教学重、难点

重点：用计数原理分析(ab)，(ab)4的展开式，推导二项式定理；

1 3

难点：发现二项式展开各项的形成规律，用计数原理证明二项式定理. 四、教学策略

采用问题引导方式组织课堂，教学问题的设置,给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线通过自主探究达到突出教学重点、突破教学难点. 教法：探究式

学法：自主、合作、探究

五、教学过程

（一）创设情景，引入新课

问题1：如果今天是星期一，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？再过8天后是星期几？

↓

10810(71)10除以7的余数是多少？

↓

(ab)n(nN*)的展开式是什么？

（二）合作交流，探究新知

问题2：请用学过的知识完成下列填空. (ab)1____________ (ab)2____________ (ab)3____________ 问题3：(ab)展开后各项的构成有什么规律？

233展开后的项a

ab

ab2

b

3

2

这是四项的系数为各项在展开式中出现的次数.考虑b：

都不取b的情况有C3种，即a3的系数是C3

1取一个b的情况有C3种，即a2b的系数是C3

001取两个b的情况有C3种，即ab的系数是C3

取三个b的情况有C3种，即b3的系数是C3

0312233(ab)3C3aC3abC3ab2C3b

n问题4：你能猜想(ab)4

?

，(ab)

?

22233(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)

展开后的项

a

个

都

不

取

b 0系数

C4

4a3b

个

都

不

取

b 1C4

a2b2

个

都

不

取

b 2C4

ab3

b4

个

都

不

取

b 3C4

个

都

不

取

b 4C4

0413222344(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b

(ab)n(ab)(ab)……(ab)

n个

项

系数

an

0Cn

an1b

1Cn

……

……

ankbk

kCn

……

……

bn

nCn

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb

n0n1n1knkknn问题5：对于式子(ab)CnaCnabCnabCnb，你能证明吗？

证明：(ab)是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择选a或b，由分步计数原理，可知展开式共有2项（包括同类项），其中

3 nn

每一项都是anrbr(r0,1,,n)的形式，对于每一项anrbr，它是由r个(ab)选了b，nr个(ab)选a得到，它出现的次数相当于从n个(ab)中取r个b的组合数，将它们合并同类项就得二项展开式：

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb

上述公式叫做二项式定理. 问题6：在(ab)的展开式中共有多少项？各项的指数有什么特征？能用一个式子表示各项吗？

n(ab)n展开式的结构特征

（1）项：二项展开式共有n1项

（2）次数：各项的次数都等n

字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n. r，n})

（3）二项式系数：Cn(r{0,1,2，rnrr（4）二项展开式的通项：Tr1Cnanb(0rn)

（三）初步应用，不断领悟

(1x)n?

(ab)n?

例1.求(12x)5的展开式. 例2.求(12x)的展开式中的第3项的二项式系数. 变式1：求(12x)的展开式中的第3项的系数. 变式2：你能否直接求出展开式中的第3项？

变式3：求(12x)的展开式中含x4的项.

4 555

破解疑惑：今天是星期一，再过8天后是星期几，你知道吗？

（四）归纳小结，巩固提高

问题7：本节课你学习了什么知识，是怎样得到呢？在学习这部分知要注意什么呢？

1．知识

①二项定理

0n1n12n22knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb

10rnrr②二项展开式的通项Tr1Cnanb(r0,1,2,,n)

r③二项式系数Cn(r0,1,,n)

2．方法

①探索方法：特殊→一般

②思维方法：观察→归纳→猜想→证明

（五）布置作业，拓展探究

1．课本37页习题2.（1）,4.（1）

2．求(11110)展开式中含5的项的系数. 2xx522一

一

一

二

三

四

六

三

四

一

一

一

一

3．探究(abc)的展开式中abc的系数

4．请同学们观察右表（我国宋朝时期数学

一

家杨辉所做的一个表）你有什么发现？

一

5．拓展延伸：查阅书籍或登陆数学网站，了解杨辉三角的有关数学史

料、性质、应用.

5