2.2.2 反证法教学设计(第二课时)

2．2.2反证法

教学目标

1.通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

2．了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

教学重点与难点

重点：1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

【教学过程】

一、学前准备

1、复习回顾

上节课我们学习了用 ， 直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。

2、情景创设：

A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？

【设计意图】：通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法

（2）步骤

反证法证题的基本步骤：

1．假设原命题的结论不成立；（假设）

2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）

3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）

三、例题讲解

例1、

写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. 【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障

(1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角

(3)a,b,c中至少有一个是正数

例2、

已知直线a,b和平面，如果a,b,且a//b,求证：a//

【设计意图】：本例是位于必修2第55页线面平行的判定定理的证明，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例

例3、

求证：2是无理数

【设计意图】：本例是一个典型的使用反证法证明的问题，本例的难点是学生对无理数的了解很少，有理数的性质也接触得很少，许多学生对有理数的表示也不太熟悉，因此用反证法得出矛盾的方向也很不明确，教学中要逐步引导到位

例4、已知x,y0,且xy2。求证：1x1y中至少有一个小于2.

,yx【设计意图】：结论中含“至少”，如果从正面证明，需要分成三种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法. 证明：假设1x1y与都不小于2 xy则1x1y2

2且xy1x2y且1y2x

所以1x1y2y2x即xy2与xy2矛盾

所以假设错误

所以1x1y2至少有一个成立.

2和xy

四、巩固训练：

1.

求证：2,3,5不可能成等差数列．

【设计意图】：结论中含否定词语，故考虑采用反证法.)

2.

ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证B.2【设计意图】：本题利用余弦定理直接证明可以，利用反正也可，对比两种证明方法，反正更简单。

五、自学、合作探究（二）

根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见四类问题.和应用反证法的关键。

【设计意图】：侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识自主探究新知识

六、课堂小结

由学生总结本节课的收获

【设计意图】：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。

七、小试牛刀

1．否定下列命题的结论：

（1）

在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。 。（C、D组完成）

（2）

如果点P在⊙O外，则d>r（d为P到O的距离，r为半径） （C、D组完成）

（3）

在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。 （A、B组完成）

（4）

在⊿ABC中，至多有只有一个直角。 （A、B组完成）

2．选择题：

证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ）

A．三角形中至少有一个直角或钝角

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D 。三角形中三个角都是直角或钝角

3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（ ）

A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

八、作业

课本44页A组3

九、教学反思：

1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在反证法的思想上，努力挖掘教学中蕴涵的思维价值，培养学生的逆向思维能力。改变了传统的解决问题模式

2、“用教材教，而不是教教材”，针对学生特点，将教材的例题和习题重组，尽量满足不同思维层次学生的需求。

3、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。