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《§3.1.1数系的扩充和复数的概念》教案

§3.1.1数系的扩充和复数的概念

教案

【教学目标】

知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念

过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观:

1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题。

【重点难点】

重点:

理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．

难点：复数的有关概念及应用．

【学法指导】

1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义；

2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础.

【知识链接】

前两个学段学习的数系的扩充：

人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N

R Q Z

N

N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z.

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q.

用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有

理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.

x=－1，x=? 2但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？

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《§3.1.1数系的扩充和复数的概念》教案

【问题探究】

探究一、复数的引入

引导1：由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，并规定：

2（1）i1

；

（2）实数可以与i进行加法和乘法运算：

实数a与数i相加记为：ai；

实数b与数i相乘记为：bi；

实数a与实数b和i相乘的结果相加记为：abi；

（3）实数与i进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。

引导2:复数的有关概念：

（1）我们把形如abia,bR的数叫做复数，其中i叫做

虚数单位

，

全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写字母 C 表示。

．．

（2）复数的代数形式：

复数通常用小写字母z表示，即zabia,bR，这一表示形 式叫做复数的代数形式，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部。

点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这里我们引入的数i及引入数i后实数与i进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的规定要合理，要有一定的依据基础. 例1请说出复数23i,5,i的实部和虚部。

引导:考虑复数的有关概念.对于复数zabia,bR，a叫实部，b叫虚部. 解：

23i的实部是2，虚部是3；

135的实部是5,虚部是0;11i的实部是0，虚部是；3313i,i(21)的实部和虚部。2变式再练：请说出复数4i8,6,0,解：(1)4i8的实部是8，虚部是4；（2）0的实部是0，虚部是0；13i13（3）6的实部是6，虚部是0；（4）的实部是，虚部是;222（5）i(21)的实部是0，虚部是21.

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探究二、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系

对于复数zabia,bR：

当且仅当b0时，复数z表示 实数 当b0时，复数z叫做 虚数 当a0,b0时，复数z叫做 纯虚数 你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗？

（

虚数集

）

复数集

例2

指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

（纯虚数集）

（

实数集

）

2i，0，i，i2，5i8，392i

727,0.618,0,i2 实数： 2i,i,5i8,392i 虚数： 72i,i 纯虚数： 7 27，0.618，例3 实数m分别取什么值时，复数zm1m1i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 引导:因为mR，所以m1，m1都是实数，由复数zabia,bR是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数m的值．

解：

1）z为实数，则

m-1=0 即

m=1 （

（2）z为虚数，则

m10即m1

10且m1

（3）z为纯虚数，则

m变式再练1：当20，即m1取何实数时，复数zm1(m1)i是：

（1）实数 （2）

虚数 （3）纯虚数

（4）零

解：（1）z为实数，则m10即m1

（2）z为虚数，则m10即m1

m210m1（3）z为纯虚数，则m1

m1m10m210m1（4）z为0 则m1m1m10

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《§3.1.1数系的扩充和复数的概念》教案

变式再练2：若复数m25m6m23mi为纯虚数，试求实数m的值.

提示：由复数zabia,bR是纯虚数的条件可以确定实数m的值. 2m5m60m2或m3m2

解：由题意：2m0且m3m3m0

探究三、复数集与其它数集之间的关系：

N 

Z

Q 

R 

C.

C

R Q Z N

N

【总结提升】

1.复数的引入，体现了数系扩充的必要性及现实意义；给出的相关规定体现了数系扩充

后运算的封闭性，同时体现了规定的合理性；

2.复数的有关概念是学习复数的基础，学习时需根据复数是由其实部和虚部共同决定的这

一特征理解记忆.

【总结反思】

知识 . 重点 . 能力与思想方法 .

【自我评价】你完成本学案的情况为( ) A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

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