3.2.2 复数代数形式的乘除运算全国优秀课堂实录

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

教学目标：

知识与技能：

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

过程与方法：

理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：

通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法。

教学重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算。

教学难点：复数除法的运算法则。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学过程：

复习引入：

1.加法、减法的运算法则

2.加法运算律：

讲解新课：

探究点1 复数乘法运算

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究点2 复数乘法的运算律

(1)z1z2=z2z1

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)(z1z2)z3=z1(z2z3)

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例1、计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2、计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i)2.

解：（1）(3+4i)(3-4i)=32-（4i）2=9-(-16)=25; (2) （1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i. 探究点3 共轭复数的定义

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z的共轭复数为z=a-bi。

复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者探究点4 复数除法的法则

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

abi

cdi

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. cxdya,由复数相等定义可知

dxcyb.acbdx,22cd解这个方程组，得

ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcdabi的分母有理化得：

cdi②利用(c+di)(c-di)=c2+d 2.于是将原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi. c2d2c2d2点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而2(c+di)·(c－di)=c2+d 是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3、计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

(34i)(34i)32422555

巩固练习：

1、计算：

1(1i)(2i)1i7i(2);(4).(1);(3);i1i

34i

i

2、已知复数z的共轭复数z满足：(12i)z43i,求z和课后作业：

课本第112页 习题3.2 A组4，5，6 B组1，2 课堂小结：

1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并。

2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立。

3.当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.实数的共轭复数是它本身。

4.复数代数形式的除法实质：分母实数化。

教学反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式。

复数的除法法则是：abiacbdbcad22i(c+di≠0). 22cdicdcdz.

z两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简。