1.不等式的基本性质PPT配套教学设计内容

第21讲

不等式选讲

1.[2017·全国卷Ⅰ]

已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

[试做]

命题角度

含绝对值的不等式的解法

含绝对值不等式的解题策略:

关键一:运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论;

关键二:运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解.

2.[2017·全国卷Ⅱ]

已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2.

[试做]

命题角度

不等式的证明

不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式.

3.[2016·全国卷Ⅲ]

已知函数f(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

[试做]

命题角度

关于含绝对值不等式的恒成立问题

解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为:

①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a

;

②f(x)

③f(x)>a有解⇔f(x)max>a;

④f(x)

⑤f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;

⑥f(x)

解答1含绝对值的不等式的解法

1

设函数f(x)=|2x-a|+5x,其中a>0.

(1)当a=3时,求不等式f(x)≥5x+1的解集;

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.

[听课笔记]

【考场点拨】

高考常考的含有绝对值的不等式的解法:

(1)利用零点分区间讨论法.以绝对值的零点为分界点,将数轴分成几个区间,运用分类讨论思想对每个区间进行讨论.

(2)利用绝对值的几何意义求解.即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离(范围)问题结合.解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用.

(3)构造函数去解决.一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数,剩余的部分构造成另一个函数,画出函数图像,利用数形结合的方法解决问题.

【自我检测】

已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|.

(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;

(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含[,2],求实数m的取值范围.

解答2不等式的证明

2

已知函数f(x)=|x+1|-|x-4|.

(1)若f(x)≤-m2+6m恒成立,求实数m的取值范围;

(2)在(1)的条件下,设m的最大值为m0,a,b,c均为正实数,当3a+4b+5c=m0

时,证明:a2+b2+c2≥.

[听课笔记]

【考场点拨】

高考中不等式证明的关注点:

不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中以比较法和综合法最为常见,反证法和分析法也是我们常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是证明不等式的利器,又是求二元变量关系式最值的法宝.

【自我检测】

已知函数f(x)=|x-1|+|x-5|.

(1)解关于x的不等式f(x)>6;

(2)记f(x)的最小值为m,已知实数a,b,c

都是正实数,且++=,求证:a+2b+3c≥9.

解答3含绝对值不等式的恒成立问题

3

已知函数f(x)=|x-2|-|2x-2|.

(1)求不等式f(x)+1>0的解集;

(2)当x∈R时,f(x)<-x+a恒成立,求实数a的取值范围.

[听课笔记]

【考场点拨】

利用绝对值不等式恒成立求参数的值或范围,一般采用分离参数法,然后使用结论:(1)如f(x)>g(a)恒成立,则转化为f(x)min>g(a);(2)如f(x)

【自我检测】

设函数f(x)=|x+a|+|x-3a|,a∈R.

(1)若f(x)的最小值是4,求a的值;

(2)若对于任意的实数x∈R,总存在a∈[-2,3],使得m2-4|m|-f(x)≤0成立,求实数m的取值范围.