2.基本不等式第二课时教案

基本不等式

姓名:匡思权 工作单位:四川省绵阳普明中学

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab【教学难点】

均值不等式ab【教学过程】

ab的证明过程；

2ab等号成立条件. 21.课题导入

基本不等式abab的几何背景：

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

探究1:图形中的相等与不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

2222何时取得等号？

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab。

得到结论：一般的，如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

22探究二：思考证明：你能给出就以上结论的证明吗？

证明：因为

ab2ab(ab)

222

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

所以，一般的，对于任意实数a,b，都有a2b22ab，当且仅当ab时取等号。

探究三：当a0,b0时，以a，b代替此式中a,b的可得到一个什么样的关系式？

探究四：如何证明基本不等式 ：ab从不等式的性质推导基本不等式ab用分析法证明：

要证 ab

2ab

2abab (1) 2只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证（3），只要证 （ - ） （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

结论：1.如果把2ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，2ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本222那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 总结：

重要不等式：a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

均值不等式：abab(a0,b0) 2注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。

（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。

课前热身：

1.(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（

）

A.80

B.77

C.81

D.82

2.设x>0，y>0，且xy＝25，则x＋y的最小值为（

）

A.7

B.10

C.20

D.25 [例题讲解]

利用基本不等式求最值

例1.已知0

方法总结：______________________ 51例2.已知x<4，则f(x)＝4x－2＋的最大值为_____. 4x－5方法总结：______________________

课堂练习：

1.若函数f(x)＝x＋1(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(

) x2

B.1＋3 A.1＋2

C.3

2.下列函数中最小值为4的是(

)

D.4

A.yxC.y3x44x(0x)

B.ysinxsinx4

D.ylog10x4logx10

3x【课堂小结】

本节课，我们学习了：

1.

两个不等式

22（1）.重要不等式a＋b≥2ab；

（2）.两正数a、b的算术平均数（abab），几何平均数（ab）及它们的关系（≥22ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数。

而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤ab2a2b2，ab≤（）. 222不等式的简单运用：求最值。七字方针：一正二定三相等

【课后作业布置】

导学案自我检测P139第3，4题.

【课后反思笔记】