二 用数学归纳法证明不等式优质课一等奖

用数学归纳法证明不等式（第三课时）

湖南永州市祁阳县第一中学：桂爱民

（1）教学目标

1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，

2、理的操解数学归纳法作步骤，

3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力.

（2）学情分析：

学生对对数学归纳法证明的流程不太理解，同由n=k过渡到n=k+1时过渡不顺畅。

（3）重点难点：

教学重点

1、能用

数学归纳法证明几个经典不等式；

2、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。

教学难点

1、理解经典不等式的证明思路；

2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。

（4）教学过程：

活动1【导入】复习导入

1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？

（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。

（2）步骤：

①归纳奠基; ②归纳递推. 活动2【讲授】新知探究

明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式. (电脑展示) 【例1】观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论. ｛an=n2｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……

｛bn=2n｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, ……

（1）学生观察思考

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（2）师生分析

（3）解：从第5项起，an

＜

bn

，即

n²＜2n,n∈N+（n≥5）

证明：（1）当

n=5时，有52＜25，命题成立。

（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立

即k2＜2k 当n=k+1时，因为

（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1

所以，（k+1）2＜2k+1

即n=k+1时，命题成立。

由（1）（2）可知n²＜2n（n∈N+，n≥5）

活动3【活动】师生互动

例3 证明贝努力（Bernoulli）不等式: 如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）n＞1+nx

分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n） ②哪个字母与自然数有关？ (n是大于1的自然是数) （板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．

（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）

（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx．

师：现在要证的目标是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，请同学考虑．

生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k（1+x），因为x＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

师：现将命题转化成如何证明不等式

（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x．

显然，上式中“=”不成立．

故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．

（板书）将例3的格式完整规范．

证明：（1）当n=2时，由x≠0得 （1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。

（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，

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即有（1+x）k＞1+kx

当n=k+1时，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）

=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x

所以当n=k+1时，不等式成立

由①②可知，贝努力不等式成立。

活动4【练习】配套练习

【配套练习1】证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+) 分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。

证明：（1）当

n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。

（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，

即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│

当n=k+1时，

│Sin （k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│

≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│

=│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│

≤│Sin kθ│+│Sin θ│

≤k│Sinθ│+│Sin θ│

=（k+1）│Sinθ│

所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。

学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│

②三角函数的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1

③三角函数的两角和公式。

【配套练习2】证明：如果n（n为正整数）个正数a1, a2, a3

…an的乘积a1a2a3

…an=1那么它们的和a1+a2+ a3+…+an≥n

活动5【作业】课外作业

课本P53：1，3，5

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