二 用数学归纳法证明不等式ppt配套的教案及板书设计

数学归纳法

教学设计

一、教材内容分析

通过合情推理归纳出的有一类特殊问题——与正整数n有关的命题——用之前学习的方法难以解决，从而我们产生学习“数学归纳法”的必要性．学习了数学归纳法后，学生可以解决部分“证明n取无限多个正整数命题成立”的问题．

在这个过程中，学生首先需要从生活实例中抽象出数学原理，然后需要利用该原理对数学问题进行严格证明．因此，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力的好素材．

二、教学目标

1. 通过具体情境，体会学习数学归纳法的必要性；

2. 借助生活实例和体验操作，感知数学归纳法的原理，体会数学与生活的紧密结合性；

3. 通过从解决具体数学问题的思维中概括出数学归纳法，训练学生的抽象思维能力，在证明过程中，培养学生严密的推理能力．

三、教学重、难点

教学重点：了解数学归纳法的基本思想；掌握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用．

教学难点：了解数学归纳法的基本步骤；②如何理解数学归纳法中第二步的本质——建立递推关系．

四、教学策略

1：“设置问题串”教学策略．设置具有启发性的问题，逐步推进对思想方法的理解，为本节课教学重点作铺垫；在类比抽象的过程中，设置类比问题，帮助学生类比多米诺骨牌原理解决数学问题，突破教学难点；在形成数学归纳法概念后，设置反思问题，了解数学归纳法第二步骤的作用，明确第一步骤的起点问题，加深对数学归纳法的理解，突破教学难点，课堂小结时，利用问题串，帮助学生回顾知识要点．

2：“螺旋上升”教学策略．先通过具体情境的探究，引发学生求知欲；再通过多米诺骨牌初步体会和认识数学归纳法的雏形；然后类比这种思想，解决数学问题；进而从中提炼出数学归纳法；通过对数学归纳法的步骤反思，对步骤的本质进行认识和剖析；通过例题教学，帮助学生掌握数学归纳法步骤和易错点，以此逐步完成对数学归纳法的深刻理解．

五、教学过程

问题探究

问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是甜

an问题2：对于数列a,若a1,an1n1

1a的

.如何验证你得到的结论正确与否呢？在数列的学习中，学生已能够解决该引例问题，较难说明学习数学归纳法是必要的．该例题的设计旨在利用先行组织者，引发学生认知冲突，明确学习数学归纳法的必要性，激发学生求知欲．

总结：这个问题无法利用已学知识解决，因此，我们需要一种新的证明方法，这就是我们今天要学习的数学归纳法．

利用游戏视频，激发学生求知兴趣，让学生动手操作，锻炼学生动手能力．学生参与体n

验，才能更好地从自身体验中总结过程，为后面抽象原理做铺垫．

问题1. 我们把手动推到的牌称作“第1张牌”，第1张牌倒下后，其他牌如何倒下的？

问题2. 如果任给n张牌排成一列，要保证所有牌全部倒下，需要满足哪些条件？

总结：任给n张一列牌倒下的条件

（1）第1块牌倒下；（2）第k牌倒下导致第k+1张牌倒下．

证明：（1）当n1时，左边1312右边，结论成立；

（2）假设当nk时，命题成立，即

13233312k3k2k1

43当nk1时，左边132333k3k1

11232k2k1k1k1k24k4

44122k1k2右边

4反思1：第（2）步为什么要假设k成立？假设k成立为什么可以作为条件使用？

提示：解决这个问题，需要明确（2）证明的是什么？

总结：（2）本质证明的是递推关系（上述链表中的箭头）

为了证明递推关系，构造了一个命题，假设k成立是所构造命题的条件．

（2）证明了递推关系，（1）给出了起点问题．接下来我们研究一下有关起点的问题．

反思2：（1）用数学归纳法证明不等式

1111n1nn*,n1，第一步需要验证什么？

232（2）用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为nn32，第一步需要验证什么？

总结：利用数学归纳法证明时，第一步从等于几开始起，要根据具体问题而定．

问题：从这两个问题中，你觉得刚才得到的数学归纳法可以怎样的修改呢？

预设追问：若(1)修改为nn0命题成立，最后得到什么结论? 数学归纳法步骤可总结为：

（1）证明当nn0（n0*）时，命题成立；

*（2）假设nk（kno,k例. 利用数学归纳法证明

122232）时命题成立，证明当nk1

1n2nn12n1对任意正整数n成立．

61k2kk12k1．

6证明：（1）当n1时，左边=右边，命题成立．

（2）假设当nk时，命题成立，即12223212当nk1时，左边kk12k1k1

6112k27k6k1k22k3k1

66

12k11右边

k1k26因此，若nk时命题成立，可推出nk1时命题成立．

综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n成步骤．

六、通过本节课的学习：

问题1. 你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？

问题2. 数学归纳法每一步的作用是什么？

问题3. 数学归纳法适用于哪类数学证明问题？