2.2.3 两条直线的位置关系教案和学案内容

两条直线的位置关系教学设计

教学分析

教材利用方程组解的个数来讨论两条直线相交、平行与重合的条件．值得注意的是在教学中，调动学生的积极性，让学生自己归纳出两条直线相交、平行和重合的条件．

三维目标

1．掌握两条直线相交、平行与重合的条件，提高学生归纳、类比的能力．

2．能够判断两直线的位置关系，提高学生分析问题、解决问题的能力．

重点难点

教学重点：两条直线的位置关系、平行条件的应用．

教学难点：归纳两直线平行、相交与重合的条件．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

设计1.在平面直角坐标系中，两条直线的位置关系是平行、相交、重合．当两条直线无交点时，它们平行；当两条直线有唯一交点时，它们相交；当两条直线有无数个交点时，它们重合．本节利用直线方程来讨论两条直线的位置关系，教师引出课题．

设计2.在立体几何中，两条直线的位置关系是平行、相交、异面，在本章所讨论的两条直线的位置关系是平行、相交、重合．那么如何利用方程来讨论两直线的位置关系呢？教师引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

1点Px0，y0是直线l：Ax＋By＋C＝0上的一点，则x0与y0满足什么条件？

2已知两条直线的方程为l1：A2x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.试判断直线l1与l2的交点个数，并确定它们位置关系. 3归纳两条直线相交、平行与重合的条件. 讨论结果：

(1)Ax0＋By0＋C＝0. ①A1x＋B1y＋C1＝0(2)解方程组，

A2x＋B2y＋C2＝0②

①×B2－②×B1，得(A1B2－A2B1)x＋B2C1－B1C2＝0. B1C2－C1B2当A1B2－A2B1≠0时，得x＝；

A1B2－A2B1因此，当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一一组解．此时直线l1与l2相交，且有唯一交点，交点坐标是方程组的解．

当A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0时，方程组无解．两直线无交点，此时l1∥l2. 当A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2＝0或A2C1－A1C2＝0时，方程组有无数组，即此时，两直线l1与l2有无数个交点，即l1与l2重合．

A1B1(3)l1与l2相交A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)．

A2B2

AB－A2B1＝0，而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0；12l1与l2平行A1B1C1

或＝≠ABC≠0.A2B2C2222A＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2λ≠0；1l1与l2重合A1B1C1

或＝＝ABC≠0.A2B2C2222

提出问题

(1)两直线平行，它们的倾斜角和在y轴上的截距相等吗？

2当两直线的倾斜角相等，在y轴上的截距不相等时，这两条直线有什么位置关系？3已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，怎样用k1，k2，b1，b2判定它们平行？4怎样用k1，k2，b1，b2，判定它们重合？讨论结果：

(1)画图分析，得它们的倾斜角相等，在y轴上的截距不相等．如下图所示；

(2)平行；

(3)l1∥l2

k1＝k2且b1≠b2；

(4)l1与l2重合k1＝k2，且b1＝b2.

应用示例

思路1

例1已知直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求证：当C1≠C2时，l1与l2平行．

证明：因为AB－BA＝0，所以l1与l2平行或重合．又因为BC2－BC1＝B(C2－C1)：当B≠0时，已知C1≠C2，所以BC2－BC1≠0，因此两直线平行；当B＝0时，由直线方程的C1C2定义，知A≠0，于是两条直线的方程变为x＝－，x＝－，这是两条与x轴垂直的直线，AA所以它们平行或重合．又由于C1≠C2，所以它们是平行的直线．

点评：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋D＝0(C≠D)．

变式训练

1．过点A(1,2)，且平行于直线2x－3y＋5＝0的直线方程是______．

解析：设所求直线方程为2x－3y＋m＝0(m≠5)，则2×1－3×2＋m＝0，解得m＝4，即所求直线方程为2x－3y＋4＝0. 答案：2x－3y＋4＝0 52．求与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距之和是的直线l的方程．

6解：设直线l的方程为2x＋3y＋m＝0(m≠5)．

mm当x＝0时，y＝－；当y＝0时，x＝－. 32mm5则－－＝，解得m＝－1. 326即直线l的方程为2x＋3y－1＝0. 3．求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：

1(1)(－1,2)，y＝x＋1；

2(2)(1，－4)，2x＋3y＋5＝0. 1解：(1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为y＝x＋b. 2515由于所求直线过点(－1,2)，代入方程，得b＝.因此所求方程为y＝x＋，即x－2y＋5222＝0. (2)设所求的直线方程为2x＋3y＋D＝0.由于所求直线过点(1，－4)，代入方程，

得D＝10.因此，所求直线方程为2x＋3y＋10＝0. 思路2

例2判断下列各对直线是否平行，并说明理由．

(1)l1：y＝3x＋2，l2：y＝3x＋5；

(2)l1：y＝2x＋1，l2：y＝3x；

(3)l1：x＝5，l2：x＝8. 解：(1)设两直线的斜率分别是k1，k2，在y轴上截距分别是b1，b2，则k1＝3，b1＝2，k2＝3，b2＝5. 因为k1＝k2，b1≠b2，所以l1∥l2. (2)设两直线的斜率分别是k1，k2，在y轴上截距分别是b1，b2，则k1＝2，k2＝3，b1＝1，b2＝0. 因为k1≠k2，所以l1与l2不平行．

(3)由方程可知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上截距不相等，所以l1∥l2. 点评：判断两直线是否平行时，要对直线的斜率讨论，特别是当斜率都不存在时，即直线x＝a与直线x＝b(a≠b)平行．

变式训练

1．直线l1过A(m,1)，B(－1，m)，直线l2过点P(1,2)，Q(－5,0)，且l1∥l2，则m＝______. 1－m2－011－m11解析：k1＝，k2＝＝，由于l1∥l2，则＝，解得m＝. 2m＋11＋53m＋131答案：

22．已知直线l1：x＋y－1＝0，直线l2：kx－2y＋3＝0，且l1∥l2，则k＝______. 答案：－2 例3已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2(1)平行；(2)重合；(3)相交？

解：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析．而对于l1与l2相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律，当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，此时l1与l2相交．

m－2316当m≠0时，l1：y＝－x－，l2：y＝－x－m. mm32(1)若l∥l，则63－≠－m2m12m－21－＝－m3

，解得m＝－1. m－232m(2)若l1与l2重合，则＝＝，解得m＝3. 1m6故m＝－1时l1∥l2；m＝3时l1与l2重合．

(3)由l1的方程得x＝－my－6，代入l2的方程得(m－2)(－my－6)＋3y＋2m＝0，即(m2－2m－3)y＝12－4m，显然，m2－2m－3＝0时无解，只有当m2－2m－3≠0，即m≠－1且m≠3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m≠－1且m≠3时两直线相交．

点评：本题主要考查两直线相交、平行与重合的条件，要正确解决本题需要有足够的耐心和具有分类讨论的能力．

变式训练

设三条直线l1：x＋y－1＝0，l2：kx－2y＋3＝0，l3：x－(k＋1)y－5＝0.若这三条直线交于一点，求k的值．

x＋y－1＝0，解：解由l1、l2的方程组成的方程组kx－2y＋3＝0，

－1x＝2＋k，得3＋ky＝2＋k，

－13＋k所以l1与l2的交点是P(，)．

2＋k2＋k－13＋k又因为l1、l2、l3交于一点，即P点坐标满足直线l3的方程，－(k＋1)－5＝0. 2＋k2＋k解得k＝－7或－2(舍去)．

所以k＝－7.