二 一般形式的柯西不等式第一课时评课稿

柯西不等式

【摘要】本文将给出柯西不等式及其应用时需注意的几点说明、柯西不等式的几种形式和证明以及关于柯西不等式的几种题型。我们知道，柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程组等问题上得到应用。

【关键词】柯西（Cauchy）不等式；函数最值；解三角形问题；不等式的证明；不等式的应用。

【正文】

一、柯西不等式及其证明。

n2n2n

定理：

设ai，biR（i=1，2，3........,n）,则aibiaibi，当且仅当ai=bi，即i1i1i12aa1a2==n=等号成立。

b1b2bn

此不等式称为柯西不等式。

说明1：

由于“ai1n2i0，bi0，aibi0”情况之一出现时，不等式显然成立，因此，在下面的讨论2i1i1nn中不妨设说明2：

ai1n2i0，bi0，aibi0都成立。

2i1i1nn柯西不等式取等号的条件常常写成比例形式aa1a2==n,并约定：分母为0时，相应的分子也为0。

b1b2bn“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分。

说明3：

使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数

a1，a2，an，

b1，b2，bn，

其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。

现将它的证明介绍如下：

证明1：

构造二次函数 

f(x)axbaxbaxb1122nn222 =2a1b1a2b2......anbn）x（a1a2......an）x2（（b1b2......bn）

222 a1a2......an0 ，f(x)0恒成立， 2222222（4a1b1a2b2......anbn）4(a1a2......an)(b1b2......bn)0

2（a1a2......an）(b1b2......bn)

即（a1b1a2b2......anbn）222222222222当且仅当

aixbi0

(i1,2,....,n)即证明2 数学归纳法

a1a2bb21an时等号成立

bn

（1）当n1时

，右式=a1b1

，左式=a1b1222，显然

，左式=右式。

（a1b1）(a2b2)2a1a2b1b2

（a1b1）(a2b2)a2b1a1b2当n=2时，左式=(a1a2)(b1b2)=（a1b1a2b2）=右式，

=当仅当即

a2b1ab12

即2222222222222a1a2时等号成立

b1b2故n1,2时

不等式成立 ,k2（2）假设nkk时，不等式成立，

即

（a1b1a2b2......akbk）（a1a2......ak）(b1b2......bk)

当

bika,2i，k为常数，i12222222222aa0时等号成立

n

或a12k222aaabbb设 12k12k

Cababab1122kk

22

（Aak1)(Bbk1)ABAbk1Bak1ak1bk1则

2222

2222C2CababCab

k11kk11kk11kaaaabbbb 

12kk112kk1abababab

1122kkk1k1当

bika,2i，k为常数，i1222222222时等号成立

aa0n

或a12k即 nk1时不等式成立

综合（1）（2）可知不等式成立

二、柯西不等式的各种形式及其证明

二维形式

在一般形式中，令n2,a1a,a2b,b1c,b2d，得二维形式

a22b2c2d2acbd

等号成立条件：adbca/bc/d

扩展：a1a2a3an2222b12b22b32bn2a1b1a2b2a3b3anbn

2当ai0或bi0时，ai和bi都等于0，a:ba:ba:b等号成立条件：11

22nn不考虑a:b,i1,2,3,,nii关于不等式(ab)(cd)(acbd)的几何背景 几何背景：如图，在三角形OPQ中，P(a,b),Q(c,d),QOP，

则 OP22222a2b2,OQc2d2, Q（c，d）

PQ(ac)2(bd)2. O P（a，b）

将以上三式代入余弦定理PQ2OPOQ2OPOQcos，并化简，可得 222(acbd)2或cos2cos.

2222222(ab)(cd)abcdacbd(acbd)2因为0cos1，所以，21，

222(ab)(cd)2于是

(a2b2)(c2d2)(acbd)2

二维形式的证明：

a2b2c2d2a,b,c,dRa2c2b2d2a2d2b2c2a2c22abcdb2d2a2d22abcdb2c2acbdadbcacbd222

等号在且仅在adbc0即ad=bc时成立三角形式

a2b2c2d2三角形式的证明：

acbd22

等号成立条件：adbca2b2c2d2a2b2c2d22a2b2c2d2a2b2c2d22acbd 注：表示绝对值a22acc2b2-2bdd2acbd222

两边开根号，得a2b2c2d2

三、柯西不等式的应用及几种题型。

1、求最值

acbd222222例：已知实数a,b,c,d满足abcd3，

a2b3c6d5试求a的最值。

解：由柯西不等式得，有

2b221113c26d2bcd

2362222即2b3c6dbcd

2由条件可得，

5a3a

2

解得，1a2当且仅当2b3c6d

时等号成立，

12131611,d时，

amax2

3621

b1,c,d时

amin1

33代入b1,c

1.1求某些特殊函数最值。

例：已知x≤0，且满足3x＋4y＝13，求x2＋4y2的最小值．

错解：由柯西不等式可知：

(32＋22)[x2＋(2y)2]≥(3x＋4y)2＝169. ∴13(x2＋4y2)≥169.

22 ∴x＋4y≥13.

∴x2＋4y2的最小值为13. 错解分析：本题错误的原因在于应用柯西不等式解题时忽视了公式中等号成立的条件．事实上等号成立需满足三点：①x≤0；②3x＋4y＝13；③3×2y＝2x，即x＝3y.解②③得x＝3，显然不满足x≤0.

正解：∵3x＋4y＝13，

13－3x ∴2y＝

2 ∴x2＋4y2＝x2＋(2y)2＝x2＋( ＝ 又∵x≤0，

∴当x＝0时，(x2＋4y2)min＝ ∴x2＋4y2的最小值为

2、巧拆常数证不等式

例：设a、b、c为正数且互不相等，求证：.

13－3x2132)＝(x－6x＋13) 241313[(x－3)2＋4]＝(x－3)2＋13. 4413169×(0－3)2＋13＝. 44169. 42229。

abbcacabca、b、c均为正数

为证结论正确，只需证:

2abc1119为证结论正确，只需证：

abbcac而2abc=abbcac又9(111)2只需证:

1112abcabbcac111abbcacabbcac

1119又2a、b、c互不相等，所以不能取等

原不等式成立，证毕。

3、证明不等式

a2b2c2例

：已知正数a,b,c满足abc1

证明

abc。

3333证明：利用柯西不等式

a2b2c22131313222222aabbcc

2323232a2b2c2abc

a3b3c3abc

2abc1

222bc

在c此a不等式两边同乘以2，再加上abc得：又因为

abcab222abc2223abc

a32b2c2a3b3c33a2b2c2

2a2b2c2故abc

33311110

例：(证明不等式)设a1a2anan1,

求证:aaa2a3anan1an1a112 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

a1an1 1111,

aaaaaa223nn11

证明：为了运用柯西不等式，我们将a1an1写成

a1an1a1a2a2a3anan1于是

 a1a2a2a3anan1n21.111

aaaaaa223nn111111aaaaaa223nn11 即

1111,a1a2a2a3anan1a1an1a1an1 故11110.

a1a2a2a3anan1an1a1我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

4、

利用柯西不等式解方程组

例：在实数集内解方程组：

3222（x2）(y)(z6)642

3222(x2)(y)(z6)252

解：由已知两方程相加、相减得

948x6y24z39x2y2z2

由柯西不等式有

22398x6y24z（-8）62（24）x2y2z2

676939

4又由柯西不等式取等号的条件得

393xyz8x6y24z

6765286246436576

36xx852139y3于是，

y26652z3z18132452所以，方程组的实数解为

x,y,z6918,,

132613说明：此题的特殊性在于不定方程有定解，其几何意义是空间中的两个球相切（其球心距恰好等于两半径之和），因此，方程组就只有一个解。

5、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

22例：

已知点x0,y0及直线l:

xyC0

0

设点p是直线l上的任意一点，

则

xxC0

（1）

p1p2x0x1y0y122

（2）

点p1p2两点间的距离p1p2就是点p到直线l的距离，求（2）式有最小值，有

22x0x1y0y122x0x1y0y1

x0y0Cx1y1C

由（1）（2）得：

22p1p2x0y0C

即

p1p2x0y0C22

（3）

当且仅当

y0y1:x0x1

p1p2l

（3）式取等号

即点到直线的距离公式

即

p1p2

x0y0C22

6、解三角形的相关问题

例

：设p是ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明：xyz1a2b2c2。

2R证明：由柯西不等式得，

xyzax111111byczaxbycz

abcabc记S为ABC的面积，则

axbycz2s2abcabc

4R2Rxyz故不等式成立。

1abcabbcca1a2b2c2

abbcca2Rabc2R2R

参考文献：

【1】

《数学通报》2000年第5期

刘治和“浅谈柯西不等式的证明与应用”。

【2】《福建中学数学》2009年第9期

林朝辉“透视09年高考，预测柯西不等式类试题走势”。

【3】《中等数学》2008年第11期

罗增儒“柯西不等式的证明与应用（上)”。

【4】《中等数学》2008年第12期

罗增儒“柯西不等式的证明与应用（下)”。