一 数学归纳法设计意图

课题：归纳法证明（复习课）

教学目标：

（1）

加强学生对数学归纳法的定义及其两个基本步骤的记忆和理解，能够利用数学归纳法证明各种类型的题目。

（2）

以基础题型为研究对象，让学生归纳出证明各种题型应该注意的问题及方法，具体问题具体分析。通过归纳的过程培养学生的归纳探索能力和严谨的思维习惯。

（3）

借助典型例题和开放性练习题，培养学生的创新精神以及合作交流的意识。

重点与难点：

本节课的教学重点是用数学归纳法证明各类题型；教学难点是提高学生解题能力和具体问题具体分析的能力。

教学方式：

本节课主要采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答等多种教学方式。

教学工具：多媒体。

教学过程：

教学设计

设计意图

一、

知识回顾，温故知新

1、提问：回顾什么是数学归纳法？（学生发言，教师点评。）

总结：（ppt展示）

引导学生回一般的，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：忆数学归纳（1）(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；法的定义，加深印象。

（2）(归纳递推)假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当

nk1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整

数n都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法。2、提问：数学归纳法的两个基本步骤是什么？（学生发言，教师引在问题1的基础下引导导学生回忆。）

学生得出数学归纳法的总结：（ppt展示）

两个基本步*（1）(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；

骤，强调二者缺一不

可。

（2）(归纳递推)假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明

当nk1时命题也成立。

学生可以畅

所欲言，让3、提问：在用数学归纳法证明时需要注意哪些问题？或者说容易犯他们回到做题时候的状哪些错误？（学生发言，老师评价并总结。）

态。找到易错点，可避总结：（1）看清题目，确定n取的第一个值；

免犯同类错（2）两个步骤缺一不可；

误，提高了解题能力。

（3）项数不能弄错；

注意：以上两个基本步骤缺一不可！

（4）第二步证明n=k+1时命题成立一定要用到n=k时的假设。

二、

五大题型，各个击破

1、提问：用数学归纳法证明的常见题型有哪些？（学生发言，老师让学生总结各种题型，总结。）

提高学生归纳总结的能总结：五大基本题型，等式、不等式、数列、整除、

力。

几何。

2、从解题中总结规律：

111n

例1：nN时，24462n2(n1)4(n1)

先给学生一分钟时间证提问：下面的证法是否正确？为什么？（学生发言，老师评价）

明这道题1111目，然后给①当n1时，左边，右边,即左边右边；2484(11)8出错误的证②假设nk(k1)时命题成立，即明过程，让学生发现错111k误并从错误24462k2(k1)4(k1)中发现另一那么nk1时，

种解题思1111111路，培养学左边[()()()224462(k1)2(k2)生的发散思111k1维。

[]右边222(k2)4(k2)

即nk1时，等式也成立。

由①②可知，对一切nN*等式均成立。

总结：证法是不正确的。因为在证明n=k+1时，他是直接进行拆分的，

并没有用到n=k时候的假设。

3nan-13例2：已知数列{an}满足：a1，且an(n2).

22an1n1(1{an}的通项公式；

)求数列（

2）证明：对一切正整数n，不等式a1a2an2n!恒成立。解：(1)an13nan1n21n1，2an1n1an33an1

n1n1(1)an3an1n111}是公比为的等比数列，首项为1-.an3a13n所以{1则1n11n11n3()()nannan33331

1313n1时，a11也成立；312n3n所以通项公式为：ann(nN*).31

(1)得：a1a2an

(2)证明：由n!111(1)(12)(1n)333

要证a1a2an2n!1111*只需证明nN时，(1)(1)(1)即可。2n

3233nN*，

先证明，对一切111111

有(1)(12)(1n)1(2n)333333

下面用数学归纳法：

①当n1时，左边112,右边112，左边右边；3333

②假设nk时，不等式成立，

111111即(1)(12)(1k)1(2)3333k33

则nk1时，

1111左边(1)(12)(1k)(1k1)33331111[1(2k)](1k1)3333111111111()()

这道高考题，可以激发学生挑战能力。

求通项公式时，让学生寻找另一种方法。

一步一步引导。让学生认识到，有时候数学归纳法不能直接进行证明，要进行适当放缩。

即当nk1时，不等式也成立。

故对一切nN*，不等式都成立。

(11)(11)(11)1(111)3332323n3n

11(1n)

13311111223n21

3所以a1a2an2n!成立。

三、

知识小结

提问：例1、例2涉及了等式、不等式以及数列问题，由前面的分析，

让学生从做我们有哪些启发？比如说等式和不等式的证明有哪些区别？需题中总结规律，提高领悟要注意哪些问题？等等。（学生发言，老师评价并总结）

能力。

总结：①看清题目，注意项数；

②n取的第一个值不一定是1；

③证明等式是直接利用假设的结论，但是证明不等式还需要进行适当的放缩；

④对数列通项进行归纳猜想时，关键是寻找满足条件的通项公式；

⑤猜想的通项公式未必对任意的n都成立，故需要用数学归纳法证明。

四、

课后练习

1、用数学归纳法证明：135(2n1)n2.12、设数列{an}满足:a12，an1an(n1,2,3,)an(1)证明：an2n1对一切正整数n均成立；(2)令bnann(n1,2,3,)，判断bn与bn1的大小，并说明理由。x3(x1)，设数列{an}满足:a11，an1fan,x1

课后练习，加深学生对课堂知识的理解。

3、已知函数fx数列{bn}满足bnan3,Snb1b2bn(nN*).(31)n(1)用数学归纳法证明bn;n2123(2)证明：Sn.3

教学反思：这节课虽然用到了多媒体，但是还是主要传统的教学为主，我们在讨论用黑板板书和多媒体展示在时间上的分配问题的时候，有的主张多用多媒体，认为多媒体可以解决时间短促的问题，有的主张多用黑板板字的传统教学，认为用黑板书更加明确，让学生更好地掌握，而用多媒体展示的知识在学生的脑海里只是形成一种一闪而过的知识，结合以上意见我最终采用以传统教学为主多媒体工具为辅的教学方式。在多媒体发达的时代，我们作为教师应该去关注：传统教学与多媒体教学谁主谁辅的问题。