2.基本不等式优质课教案推荐

3．4 基本不等式

睢县回族高级中学 张夏

【教学内容分析】

本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。

【学生学习情况分析】

授课的班级学生程度不太高，基础差不多，学习的知识结构较为合理。因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。

【教学目标】

知识目标：1、使学生了解基本不等式及其证明；2、让学生感知与基本不等式相近的一些不等式的证明与几何背景。

能力目标：1、通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、让学生初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力

情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神及灌输问题教学法。

【教学重点与难点】

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程，并能说明基本不等式的意义

难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式

一、教学过程

(一)情景设置

【探究】右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗

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使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

现将图中的“风车”抽象成下图，

图一

这个会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

问题1:我们把“风车”造型抽象成图一.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 如果设直角三角形的两直角边长为ａ、ｂ，你能用ａ、ｂ表示哪些图形的面积，这些面积有什么关系？那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 4个直角三角形的面积和是多少呢？（由学生回答，培养学生独立思考问题的能力）

22（ab，a2b2、2ab

）

问题2：比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？

（根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可容易得到一个不等2式， > (aab22ab≠b)）

问题3：什么时候这两部分面积相等呢？（让学生直接回答，老师黑板板演，或借助多媒体投影，提高学生的数学表达和交流能力。）

（当直角三角形变成等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2b22ab）所以得不等式：a2b22ab这个不等式对任意实数都成立吗？

(二)新课讲授

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1、重要不等式：一般地，对于任意实数

a、b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立。

问题4：你能给出它的证明吗？

222证明一:ab2ab(ab) (ab)20 ， 当ab时，(ab)20

当ab时，所以(ab)2≥0，所以

a2b22ab

思路二:要证a2b22ab，我们只要证a2b22ab0是否可以？对任意的实数a,b式子一定成立吗？用分析法. 问题5：如果用a,b去替换上述结论中的a,b，则a,b需要满足什么条件？替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？

代换方法：让学生尝试，其他同学要观察展示，思考正误，主动质疑和补充，积极评价，大胆发表自己见解，提出独到想法，促进课堂互动生成。注意步骤归纳，师板书或多媒体展示

特别地,如果a0,b0,用a和b代替a、b，可得ab2ab,也可写ab(a0,b0)这就是我们本节课研究的不等式：成ab基本不等式（板书2课题）

2、基本不等式：特别地,如果a0,b0,

用a和b代替a、b，可得abab(a0,b0)

ab2ab,也可写成2ab3、代数意义：在数学中，我们把

叫做正数a，b的算术平均数，2ab叫做正数a，b的几何平均数；从数列角度看，两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项。

问题6：你能利用不等式的性质给出证明吗？

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abab(a0,b0)

证明:(证法二)要证2只要证ab2ab ①

要证①，只要证

ab2ab0

②

要证②，只要证 ③

显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立

abab(a0,b0)的几问题7：观察图二,你能用这个图得出基本不等式2何解释吗？（学生讨论，教师总结）

教师通过已展示出的几何图形分析：设ACa,BCb

你能用a,b表示线段CD、OD吗？CDab，OD=______ 2

CD与圆的半径有何关系？ 图二

D A OC E B ab基本不等式的几何意义：半径长不小于弦长的一半;在直角三角形中，直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高线。教师解释等号成立的几何图形。

问题8:基本不等式与重要不等式有何异同点？

不同点：条件不同；相同点：当且仅当ab时，等号成立。

(三)利用基本不等式求最值问题：

（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么

a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”）.

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（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S

（定值），那么

ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）. 利用基本不等式求最值时，要注意

①各项皆为正数；

②和或积为定值；

③注意等号成立的条件. （四）应用举例

例1.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 练习（1）已知x0，当x取何值，x的值最小？最小值是多少？

(五)课堂小结：

请同学们回顾一下基本不等式的探究过程并归纳一下两个不等式的联系和区别

- 5 - 1x1(2)已知x0,求x的最值;x1(3)若x3,函数yx,当x为何值时，函数x3有最值，并求其最值。

ab≥2ab这节课我们通过问题背景，抽象出了不等式 (a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式。

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(六)课后作业： 课本P100习题3.4A组

第1,2题

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