二 综合法与分析法优质课教案设计

不等式的证明方法之二：综合法与分析法

教学目标：

1、

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。

2、

了解分析法和综合法的思考过程。

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。

教学过程：

一、引入：

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由

于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证

的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

二、典型例题：

11例1、

设a>b>c>0，证明：2a2＋＋－10ac＋25c2≥4. aba（a－b）分析：用综合法。

【证明】

因为a>b>c>0，

11所以2a2＋＋－10ac＋25c2 aba（a－b）11＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋＋

aba（a－b）11＝(a－5c)2＋ab＋＋a(a－b)＋

aba（a－b）≥0＋2＋2＝4，

当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1，

即a＝2，b＝

综合法证明不等式的关键

(1)综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之22，c＝时，等号成立．

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间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

(2)综合法证明不等式主要是应用基本不等式(或重要不等式)来证明，要注意基本不等式(或重要不等式)的变形应用，一般式子中出现平方和与乘积形式时可以考虑用综合法来证明．

跟踪训练1

证明：a2b2c2abbcca。

证法一：

因为

ab2ab

（2）

bc2bc

（3）

ca2ca

（4）

2222(abc)2(abbcca)

（5）

所以三式相加得222222两边同时除以2即得（1）。

证法二：

a2b2c2(abbcca)所以（1）成立。

111(ab)2(bc)2(ca)20,222

111＋1＋≥9.跟踪训练2．已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证xy证明：法一：因为x>0，y>0，1＝x＋y≥2xy，

1所以xy≤. 4111111＋1＋＝1＋＋＋

所以xyxyxyx＋y12＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9. xyxyxy

法二：因为1＝x＋y，

11x＋yx＋y1＋1＋＝1＋所以

1＋xyxyyxxy2＋2＋＝5＋2＋. ＝xyyxxy又x>0，y>0，所以＋≥2，

yx111＋1＋≥5＋2×所以2＝9. xy111例2、设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy. xyxy证法一

分析法

证明：由于x≥1，y≥1，

111要证x＋y＋≤＋＋xy，

xyxy只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)，

因为x≥1，y≥1，

所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，

从而所要证明的不等式成立．

用分析法证明不等式的思路

(1)分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止．

(2)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．

跟踪训练3.求证：3－22<7－6. 证明：要证原不等式成立，只需证3＋6<22＋7，

即证(3＋6)2<(22＋7)2，

展开得15＋66<15＋414，

只需证36<214，即证54<56，

只需证54<56. 因为54<56成立，

所以54<56成立，

所以原不等式成立．

例3、已知a，b，m都是正数，并且ab.求证：ama.

（1）

bmb证法一

要证（1），只需证b(am)a(bm)

（2）

要证（2），只需证bmam

（3）

要证（3），只需证ba

（4）

已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。

证法二

因为

ba,m是正数，所以bmam

两边同时加上ab得b(am)a(bm)两边同时除以正数b(bm)得（1）。

三、课堂小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

四、当堂检测：

1．已知c>0，用分析法证明c－1＋c＋1<2c.

a＋bb＋cc＋a2．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 222

五、课后作业：

课本25页第1、2、3、4题。