三 反证法与放缩法ppt配套的教学设计及说课稿

2.3

反证法与放缩法

学习目标

1.理解反证法在证明不等式中的应用．

2．掌握反证法证明不等式的方法．

3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式. 一、自学释疑

根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

[来源学_科_网]

二、合作探究

探究1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？

探究2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？

1.反证法

对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”．

(1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立．

(2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立．

2．用反证法证明不等式应注意的问题

[来源学+科+网Z+X+X+K](1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．

(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

3．放缩法

放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握．

常见放缩有以下几种类型：

第一，直接放缩；

第二，裂项放缩(有时添加项)；

第三，利用函数的有界性、单调性放缩；第四，利用基本不等式放缩．

1例如：2n－1n－1nnn11112＝－；>＝2(n＋1－nn＋1nn＋n＋1n＋1[来源:Z.xx.k.Com]

12<＝2(n－n－1)．

nn＋n－1以上n∈N，且n>1. 【例1】

若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.

【变式训练1】

若假设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.

1【例2】

设x，y，z满足x＋y＋z＝a(a>0)，x2＋y2＋z2＝a2.求证：x，y，z都不能是22负数或大于a的数．

3

【变式训练2】

证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．

【例3】

求证：2(n＋1－1)<1＋

111＋…＋<2n(n∈N＋)．

23n1111【变式训练3】

设n∈N＋，求证：≤＋＋…＋<1. 2n＋1n＋22n

[来源:Zxxk.Com]

【例4】

已知实数x，y，z不全为零，求证：

3x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>(x＋y＋z)．

2

【变式训练4】

设x>0，y>0，x>0，求证：

x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2>x＋y＋z.

参考答案

探究1．提示：用反证法证明不等式要把握三点：

(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．

(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．

探究2 提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；

反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．

【例1】

证法一

假设a＋b>2，则a>2－b，

∴2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，这是不可能的．

∴a＋b≤2.

13证法二

假设a＋b>2，而a2－ab＋b2＝(a－b)2＋b2≥0，但取等号的条件是a＝b＝0，24显然不可能．

∴a2－ab＋b2>0. 则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)．

又∵a3＋b3＝2，

∴a2－ab＋b2<1. ∴1＋ab>a2＋b2≥2ab. ∴ab≤1.

∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab

＝(a2－ab＋b2)＋3ab<4. ∴a＋b<2，这与假设相矛盾，故a＋b≤2.

【变式训练1】证明

假设4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)都大于1，则a(11111－b)>，b(1－c)>，c(1－d)>，d(1－a)>. 44441111∴a(1b)>，b(1c)>，c(1d)>，d(1a)>. 2222

又∵a(1b)≤a(1b)b(1c)，b(1c)≤，22c(1d)≤c(1d)，2d(1a)≤∴d(1a)，

2a(1b)1b(1c)1c(1d)1d(1a)1>，>，>，>. 22222222以上四个式子相加，得2>2，矛盾．

∴原命题结论成立．

【例2】【证明】

(1)假设x，y，z中有负数，

若x，y，z中有一个负数，不妨设x<0，

11则y2＋z2≥(y＋z)2＝(a－x)2，

221又∵y2＋z2＝a2－x2，

211∴a2－x2≥(a－x)2. 223即x2－ax≤0，这与a>0，x<0矛盾．

2若x，y，z中有两个是负数，不妨设x<0，y<0，

则z>a. 1∴z2>a2.这与x2＋y2＋z2＝a2相矛盾．

2若x，y，z全为负数，则与x＋y＋z＝a>0矛盾．综上所述，x，y，z都不为负数．

2(2)假设x，y，z有大于a的数．

322若x，y，z中有一个大于a，不妨设x>a. 33111由a2－x2＝y2＋z2≥(y＋z)2＝(a－x)2得

22223232x－a≤0，这与x>a相矛盾．

x－ax≤0，即x22332若x，y，z中有两个或三个大于a，这与x＋y＋z＝a相矛盾．

32综上所述，x，y，z都不能大于a. 3由(1)、(2)知，原命题成立．

【变式训练2】证明

假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．

[来源学#科#网]

∵α≠β，不妨设α>β. ∵函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，

∴f(α)>f(β)．这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．

所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．

【例3】【证明】

对k∈N＋，1≤k≤n，有

12>＝2(k＋1－k)．

kk＋k＋1∴1＋又∵111＋＋…＋>2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n＋1－n)＝2(n＋1－1)．

23n12<＝2(k－k－1)(2≤k≤n)，

kk＋k－1111＋＋…＋<1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n－n－1)＝2n. 23n∴1＋综上分析可知，原不等式成立．

【变式训练3】证明

∵n∈N＋，

∴111111n1＋＋…＋≥＋…＋＝＝. 2n2n2n2n2n2n＋1n＋2111111n又∵＋＋…＋<＋＋…＋＝＝1，

2nnnnnn＋1n＋21111∴≤＋＋…＋<1. 2n＋1n＋22n【例4】【证明】

x2＋xy＋y2＝(xy232yyy)y≥(x)2＝|x＋2|≥x＋2. 242z同理y2＋yz＋z2≥y＋，

2xz2＋zx＋x2≥z＋. 2由于x，y，z不全为零，故上面三个式子中至少有一个式子等号不成立，

所以三式相加，得

3x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>(x＋y＋z)．

2【变式训练4】证明

∵x>0，y>0，z>0，

∴x2＋xy＋y2＝(xy232yyyy)y≥(x)2＝|x＋2|≥x＋2.同理y2＋yz＋z2>z＋2. 242二式相加，得x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2> x＋y＋z.