2.基本不等式教学设计方案

重庆市合川太和中学行知品质课堂之“五环节”教学模式导学案 执教者：游青青

课题

3.4 基本不等式

知识目标：

课型

新授课

班级

探索并了解基本不等式的证明过程；了解基本不等式的代数及几何背景；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 目标

能力目标：

通过实例探究抽象出基本不等式；领悟数形结合的数学思想. 素养目标：

感受中国数学的成就，提高数学兴趣；通过学习提高数学抽象与推理素养. 重点

应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程. 难点

基本不等式成立的条件及应用. 环节

自学→互学→导学→自测→自学→导学→自测→反思

教学过程设计

名称

自

学

内 容

右图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客，欢迎来自世界各国的精英. 阅读教材完成下列问题. 1.正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积有怎样大小关系？能相等吗？什么时候取等号？请你做实验验证.

2.请证明a2b22ab，并说出证明方法.

3.当a0,b0时,用a,b去替换上述结论中的a,b，又能得到什么不等关系？

要求

课前自学，有问题小组交流完成. 1

重庆市合川太和中学行知品质课堂之“五环节”教学模式导学案 执教者：游青青

4.请完善上述不等式的证明过程：

abab2要证： (1) 只要证：a+b≥ (2) 要证（2），只要证a+b-2ab 0 （3）

要证（3），只要证（ - ）≥0 （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

阅读教材完成下列问题. 1.基本不等式的代数解释：

我们常把2ab叫做两个正数a,b的 . 2ab叫做两个正数a,b的 . 所以基本不等式ab自

学

ab也叫均值不等式，其代数意义是 2课前自学，有问D 题小组交流完B 成. OC .

2.

基本不等式的几何解释：

(1)

ACa，

BCb，

A 用a，b分别表示半径OD= ,半弦长CD= , 由图形可知两者间有怎样的不等关系？。

（2）基本不等式的几何意义是什么？

互

学

E 提出自学疑问，小组合作交流完成. 组长组织（5分钟）

1.利用图形的什么关系得出重要不等式？利用什么方法得到基本不等式？

2. 自学中运用了哪些数学思想？

导

学

8分钟

3.通过自学得到哪些重要的结论，

在什么情况下成立？

4.利用哪些方法可以证明不等式？

2

重庆市合川太和中学行知品质课堂之“五环节”教学模式导学案 执教者：游青青

判断下列推理是否正确，并说明理由。

1.若a≠0，则a12a12 （ ）

aa

自

测

2. 已知x、y都是正数，

3.若ab2,a0,b0,则ab的最大值为1. （ ）

yx≥2 （ ）

xy（4分钟）

例1 学校艺术节需搭建一个面积为100平方米的矩形舞台，因安全的需要，四周需加装安全围栏，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用安全围栏最短，最短围栏是多少？

导

学

教师引导并黑板板书，强调书写格式，总结方法（6分钟）

1.学校现有一段长为36米的围栏，准备围成一个矩形社会实践活动场地，问这个矩形的长、宽各为多少时，社会实践活动场的面积最大，最大面积是多少？

自

测

小组设计，全班完成（10分钟）

3

重庆市合川太和中学行知品质课堂之“五环节”教学模式导学案 执教者：游青青

2.当已知x0,y0则

（1）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值 。

2分钟

（2）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值 。

1.你本节课学到了什么？

反

思

2.你有何学习感想与大家分享？

1.

把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

作

业

灵活运2.

把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？

用所学

知识，独立完成。

13. x>0，当x取什么值，x＋的值最小？最小值是多少？

x

赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我加强对数学文详细注释。该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一化了解，段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它详细解增强学习数学释了《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，兴趣. 国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》该书写了序言，并作了阅

读

为弦实。开方除之，即弦。”。又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展产生了影响。

独立完成，小组交流，踊跃发言

（5分钟）

4