三 反证法与放缩法特级教师教学实录

证明不等式的基本方法——反证法与放缩法

教案

（人教A版选修4-5）

教学目标：

1．通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

2．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。

3．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

教学重点：

1．体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。

2．掌握证明不等式的两种放缩技巧。

教学难点：

1.会用反证法证明简单的命题。

2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

教学过程: 一、引入： 前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步 作出与所证不等式相反的假定；

第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：

例1．已知ab0，求证：nanb（nN且n1）

例2．设a3b32，求证ab2.

1

证明：假设ab2，则有a2b，从而

a3812b6b2b3,ab6b12b86(b1)2.3322

因为6(b1)222，所以a3b32，这与题设条件a3b32矛盾，所以，原不等式ab2成立。

例3．设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于1. 21，则

2 f(1)2f(2)f(3)2. （1）

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93pq)2 （2）

（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

例4．设0 < a, b, c < 1，求证：(1 

a)b, (1 

b)c, (1 

c)a,不可能同时大于

证：设(1 

a)b >1

4111, (1 

b)c >, (1 

c)a >, 4441则三式相乘：ab < (1 

a)b•(1 

b)c•(1 

c)a < ①

641(1a)a又∵0 < a, b, c < 1 ∴0(1a)a

24同理：(1b)b211, (1c)c

441 与①矛盾∴原式成立

64以上三式相乘： (1 

a)a•(1 

b)b•(1 

c)c≤所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

2

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

例5．若n是自然数，求证11112.

122232n2证明：1111,k2,3,4,,n.

2k(k1)k1kk11111111

222211223(n1)n123n11 111111)

1223n1n1 =22.

n1111注意：实际上，我们在证明22222的过程中，已经得到一个更强的结论123n11111，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

2n122232n21111例6．求证：13.

112123123n111证明：由k1,（k是大于2的自然数）

123k122221111 得1

112123123n11n11112313.

1123n11122222n112abcd+例7．若a, b, c, dR，求证：12

abdbcacdbdacabcd+ 证：记m =

∵a, b, c, dR abdbcacdbdacabcd∴m1

abcdabcacdabdabcabcdm2 ∴1 < m < 2 即原式成立。

ababcddc =()()(例8．当

n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)1

证：∵n > 2 ∴logn(n1)0,logn(n1)0

22logn(n21)logn(n1)logn(n1) ∴logn(n1)logn(n1)

22lognn2 1 23

2

∴n > 2时, logn(n1)logn(n1)1

三、课堂练习：

1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则

ama. bmb2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 

a)c, (2 

b)a, (2 

c)b,不可能同时大于1 3、若x, y > 0，且x + y >2，则1y1x和中至少有一个小于2。

xy提示：反设1x1y≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y

≤2 与x + y >2矛盾。

xy11111.

n1n2n32n21352n115、设n为自然数，求证(2)(2)(2)(2).

nnnnn!4、设n为大于1的自然数，求证四、课时小结：

1.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步 作出与所证不等式相反的假定；

第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

2．常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，

（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。

五、课后作业：

课本29页第1、2、34题

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