信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学内容

选修2-3 第72~75页信息技术应用

，对正态分布的影响

一、教学目标

1.知识与技能

（1）进一步了解正态曲线和正态分布的概念以及正态曲线的特点及其所表示的意义；

（2）理解当一定时，的变化对正态曲线的影响；

（3）理解当一定时，的变化对正态曲线的影响；

（4）根据正态曲线的特点解决相关的问题. 2.过程与方法

（1）通过练习复习正态曲线和正态分布的概念以及正态曲线的特点并到达进一步了解；

复习函数图象的伸缩与平移变换规律与方法为本节课的教学打下基础；复***均数与方差的大小反映了样本怎样的数字特征，为学生理解，是怎样对正态分布影响的作铺垫. （2）利用计算机演示，的变化对正态分布的影响，通过观察正态曲线的变化，归纳总结得出，大小变化对正态分布的影响规律. （3）通过典型例题的学习，让学生理解正态曲线和正态分布的概念以及正态曲线的特点和理解，大小变化对正态分布的影响规律，以及解决相关的问题. 3.情感态度与价值观

通过学习体会函数图象的伸缩与平移变换规律，平均数与方差反映了样本怎样的数字特征，让学生体会到知识之间的相互联系和相互转化，使学生对函数图象的变化和统计思想的认识进一步升华. 进一步感受到信息技术对我们理解掌握知识的作用，激发学生学习知识和掌握技术的热情. 4.重点与难点

重点理解：（1）当一定时，的变化对正态曲线的影响；（2）当一定时，的变化对正态曲线的影响. 难点是根据正态曲线的特点及其所表示的意义解决相关的问题. 二、教学流程

复习正态曲线的概念复习正态分布的概念复习正态曲线的前四个特点复习函数图象的伸缩和平移的规律复***均数和方差反映了样本的怎样的数字特征观察当一定时，对正态曲线的影响，并得出规律观察当一定时，对正态曲线的影响，并得出规律例题与练习小结与作业

1

三、板书设计

课本72页，对正态分布的影响一、续正态曲线的特点5.当一定时，曲线的位置由确定，值的变小和变大曲线沿x轴分别向左和右平移；6.当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中.二、例题与练习三、作业见投影以及课本习题2.4A组第2题，B组第2题.

四、教学过程

（一）温故知新

1.（1）函数yx2的图象向右平移2个单位后得到的图象对应的解析式为yx2；

22函数yx的图象的顶点0，0，对称轴为直线x0；

函数yx2的图象的顶点2，0，对称轴为直线x2. 2

Oyy=x2yx=2y=(x-2)2xO2x（2）函数ysinx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的象对应的解析式为ysin2x.

y=sinx yyy=sin2xx2π1，得到的图2

OπOπx2.样本方差越小，反映了样本的数字特征有什么变化？

答：样本个体波动变小，或个体越整齐或个体越集中在平均数附近.

3．正态曲线的定义

正态总体函数，x＝1e2x222，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示总体平均值，σ表示标准差，函数的图象叫正态分布密度曲线，简称正态曲线．

Oxy2

特例：当μ＝0，σ＝1时，函数表达式是f(x)曲线称为标准正态曲线．

4．正态分布

如果对于任何实数ab，随机变量X满足Paxb分布为正态分布．记为X~N(,

5．正态曲线的性质

正态曲线，x＝Oabx1e2x22，x∈(－∞，＋∞)，相应的yOx(x)dx，则称X的a,b2)．

y1e2x222，x∈R有以下性质：

y(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，图象关于直线x对称；

(3)曲线在x＝μ处达到峰值1；

2Ox=μx(4)曲线与x轴之间的面积为

1

.

（二）新课探究

正态曲线除了以上四个性质之外还有别的性质吗？

问题1：当一定时，的大小变化对正态曲线，x＝影响？

1e2x222，x∈R有什么3

yσ=0.5μ = –1.00μ = 0.00μ = 1.00Ox

性质（5）：当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移. 问题2：当一定时，的大小变化对正态曲线，x＝影响？

μ = 0.01e2x222，x∈R有什么yσ = 0.5σ = 1σ = 2O

性质（6）：当一定时，

曲线的位置由确定，；

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散问题3：若X~Bx

,，则

2PaXa,xdx(a0)

aa

yσ = 1.0

yσ = 0.5μ-aμ+ax

Oμ-aμ+axO注意：正态曲线与x轴围成区域面积为1，图中阴影部分面积与空白面积对比变化. 当,a大小固定，图中的阴影的面积aa,xdx(a0)随着的减小而增大，即

X落在区间a,a上的概率越大，即PaXa的值越大，即

4

个体X集中在平均数的周围概率越大. 特别有

PX0.6827P2X20.9545P3X30.9973问题4：3原则

若X~B

,，则P3X3233,xdx0.9973，即

X落在区间3,3上的概率为0.9973，在区间之外的概率仅为0.0027，通常认为一次试验中几乎不可能发生.

在实际应用中，若X~B,，则认为X的取值在区间3,23之中，并简称为3原则. 工业上常用于检验产品是否合格.

问题5[例题]：

（1）如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式为，x

113ex2029，xR，且总体随机变量的均值=

20

和方差=

9/2

．

y3π

O20x（2）已知ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，求ξ在(0，＋∞)内取值的概率．

解：∵ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ>0)，

∴正态曲线的对称轴是直线x＝4，

∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5. 又ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，

∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9. 问题6（练习）：

（1）如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3

的三种正态曲线N(0，σ2)图象，那么σ1，σ2，σ35

yOμ=4x

的大小关系是σ1<σ2<σ3．

（2）已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，求其长度误差落在区间(3,6)内的概率．

附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9545.

解：设零件的长度误差为ξ，即ξ~ N(0,32)，则μ=0，σ=3. 由正态分布的概率公式知P(－3<ξ<3)＝0.6827，P(－6＜ξ＜6)＝0.9545，

11∴P(3<ξ<6)＝[(P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝×(0.9545－0.6827)＝0.1358. 22（三）小结

本节课我们学习的主要内容：

1. 正态曲线的性质

正态曲线，x＝-2σ-σOσ2σxy1e2x222，x∈R有以下性质：

y(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，图象关于直线x对称；

(3)曲线在x＝μ处达到峰值1；

2Ox=μx(4)曲线与x轴之间的面积为

1

；

（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；

（6）当一定时，

曲线的位置由确定，；

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散2.

3原则

在实际应用中，若X~B,，则认为X的取值在区间3,23之中，6

并简称为3原则. 工业上常用于检验产品是否合格. （四）作业

1.课本74页的练习1,3以及75页习题2.4B组2.

2（思考）已知高二（3）班上学期的三次数学测试成绩的频率分布直方图如下：

频率/组距频率/组距频率/组距0.0200.0200.020

0.0100.0100.0100.0050.0050.005

020406080100分数020406080100分数020406080100分数第一次第二次第三次设三次的平均成绩分别为x1,x2,x3，则x1,x2,x3的大小关系为_______________. 3（思考）已知高二（3）班上学期的三次数学测试成绩的频率分布直方图如下：

频率/组距频率/组距频率/组距0.200.0150.0100.100.0100.050.005020406080100分数020406080100分数020406080100分数第一次第二次第三次

设三次的成绩方差分别为s2222221,s2,s3，则s1,s2,s3的大小关系为_______________.

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