1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征PPT专用教学设计内容

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

[学习目标] 1.知道空间几何体的概念及其含义．了解空间几何体的分类及相关概念．

2.了解棱柱、棱锥、棱台的定义(重点)．

3.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系(重点、难点)．

[知识提炼·梳理] 1．空间几何体

概念

定义

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的多面体

各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点

旋转体

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴

2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

(1)棱柱的结构特征．

有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相定义

邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

底面：两个相互平行的面

图示

及相

关概念

侧面：底面以外的其余各面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与底面的

公共顶点

记法

分类

棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′

按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱……

温馨提示

棱柱的侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．

(2)棱锥的结构特征．

1

定义

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

底面：多边形面

侧面：有公共顶点的图示及相关概念

各个三角形面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：各侧面的公共顶点

记法

分类

(3)棱台的结构特征．

定义

棱锥S-ABCD

按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥…

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台

上底面：原棱锥的截面

下底面：原棱锥的底图示

及相

关概念

面

侧面：除上下底面以外的面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点

记法

分类

棱台ABCD-A′B′C′D′

由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台…

温馨提示

棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

2

(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．(

) (2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．(

) (3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．(

) 2．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3．棱台不具备的特点是(

) A．两底面相似

C．侧棱都相等

B．侧面都是梯形

D．侧棱延长后都交于一点

4．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为(

)

5．下面属于多面体的是________(将正确答案的序号填在横线上)．

①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

类型1

棱柱的结构特征(自主研析) [典例1]

(1)下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；

②每一个面都不会是三角形；

③两底面平行，并且各侧棱也平行；

④被平面截成的两部分可以都是棱柱．

其中正确说法的序号是________．

(2)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？并说出它们的底面．

3

归纳升华

1．解答本题的关键是要紧扣棱柱的定义．解答时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征(其余各面都是四边形，且相邻平行四边形的公共边互相平行)．

2．多注意观察一些实物模型和图片，便于排除．

[变式训练]

下列说法正确的是(

) A．有两个面平行，其余各个面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

类型2

棱锥、棱台的结构特征

[典例2]

下列关于棱锥、棱台的说法：

(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；

(3)棱锥的侧面只能是三角形；

(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是________．

归纳升华

判断棱锥、棱台结构特征的两种基本方法

1．举反例法：结合定义直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

2．直接法：

特征

棱锥

棱台

两个相互平行

的面即为底面

延长后相交于一点

定底面

只有一个面是多边形，此面即为底面

看侧棱

相交于一点

变式训练]

判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？

4

类型3

空间几何体的平面展开图(互动探究) [典例3]

如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

归纳升华

1．(1)绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．

(2)在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

2．由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．

[变式训练]

如图所示的平面图形沿虚线折叠能围成下面的哪个长方体(

)

5

1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：

(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．

(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．

2．棱柱、棱锥、棱台的关系．

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．

3．(易误防范)涉及棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的判定，注意以下几点：

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．

(2)对于棱锥，要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．

(3)棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．

A级

基础巩固

一、选择题

1．下列几何体中棱柱有(

)

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是(

) A．棱柱

B．棱锥

C．棱台

D．一定不是棱柱、棱锥

6

3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(

)

4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是(

) A．三棱柱

B．三棱台

C．三棱锥

D．四棱锥

5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(

)

二、填空题

6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．

7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．

三、解答题

9．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．

7

10．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．

B级

能力提升

1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(

) A．棱柱

C．棱柱与棱锥的组合体

B．棱台

D．不能确定

2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．

3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．

8