1.2.1 平面的基本性质与推论教案推荐

平面与平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

(1)定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．

(2)判定定理与性质定理

文字语言

一条直线与一个平面内的两条图形语言

符号语言

判定定理

相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

垂直于同一个平面的两条直线平行

a，b⊂αl⊥aa∩b＝Ol⊥b⇒l⊥α

性质定理

a⊥α⇒a∥b

b⊥α2．直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．

π0，. (2)范围：23．平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形语言

符号语言

判定定理

l⊥α⇒α⊥β

l⊂β两个平面垂直，则一个平面性质定理

内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

概念方法微思考

α⊥βl⊂β⇒l⊥α

α∩β＝al⊥a1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？

提示

垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．

2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？

提示

垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

×

) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(

×

) (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(

√

) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(

×

) (5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(

√

) (6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(

×

) 题组二

教材改编

2．[P73T1]下列命题中错误的是(

) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案

D

解析

对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．

3．[P67练习T2]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

答案

(1)外

(2)垂

解析

(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．

(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，

∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，

∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，

∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，

∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．

同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，

即O为△ABC的垂心．

题组三

易错自纠

4．(2018·赣州模拟)若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；

若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，

因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A. 5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(

) B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

A．与AC，MN均垂直

B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与AC不垂直，与MN垂直

D．与AC，MN均不垂直

答案

A 解析

因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，

又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

所以AC⊥平面BDD1B1，

因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2，

则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，

ON＝1＋4＝5，

所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A. 6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(

)

A．MN∥AB

B．平面VAC⊥平面VBC

C．MN与BC所成的角为45°

D．OC⊥平面VAC

答案

B 解析

由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.

题型一

直线与平面垂直的判定与性质

例1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.

证明

因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，

所以AD⊥B1B. 因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1，

所以AD⊥平面B1BCC1. 因为B1F⊂平面B1BCC1，

所以AD⊥B1F. 方法一

在矩形B1BCC1中，

因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，

所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，

所以∠CFD＝∠C1B1F，

所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，

所以B1F⊥平面ADF. 方法二

在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，

所以B1D＝BD2＋BB21＝10. 在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，

2所以B1F＝B1C21＋C1F＝5. 在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1，

所以DF＝CD2＋CF2＝5. 显然DF2＋B1F2＝B1D2，

所以∠B1FD＝90°. 所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，

所以B1F⊥平面ADF. 思维升华

证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．

跟踪训练1 (2019·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC. 证明

(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，

则AB∥EF. 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，

所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，

BC⊂平面ABC，

所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 题型二

平面与平面垂直的判定与性质

例2 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；

2(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．

3(1)证明

由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC. 又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ACD，

所以AB⊥平面ACD. 又AB⊂平面ABC，

所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解

由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝32. 2又BP＝DQ＝DA，所以BP＝22. 3如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，

1则QE∥DC且QE＝DC. 3由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，

所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱锥Q－ABP的体积为

1VQ－ABP＝×S△ABP×QE

311＝××3×22sin 45°×1＝1. 32思维升华

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．

(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

跟踪训练2 (2018·武昌调研)如图，三棱锥P－ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；

(2)若PA＝PC，求三棱锥P－ABC的体积．

证明

(1)如图，取AC的中点O，连接BO，PO，

因为△ABC是边长为2的正三角形，

所以BO⊥AC，BO＝3.

1因为PA⊥PC，所以PO＝AC＝1. 2因为PB＝2，所以OP2＋OB2＝PB2，

所以PO⊥OB. 因为AC∩OP＝O，AC，OP⊂平面PAC，

所以BO⊥平面PAC. 又OB⊂平面ABC，

所以平面PAC⊥平面ABC. (2)解

因为PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2，

所以PA＝PC＝2. 由(1)知BO⊥平面PAC，

1113所以VP－ABC＝VB－APC＝S△PAC·BO＝××2×2×3＝. 3323题型三

垂直关系的综合应用

命题点1

直线与平面所成的角

例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．

(1)证明：△PBC是直角三角形；

(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为

2 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

(1)证明

∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．

∴BC⊥AC，

∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，

又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，

∴△BPC是直角三角形．

(2)解

如图，过A作AH⊥PC于H，

∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，

又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，

∴AH⊥平面PBC，

∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，

∵PA⊥平面ABC，

∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角，

∵tan∠PCA＝PA＝2，

AC又PA＝2，∴AC＝2，

∴在Rt△PAC中，AH＝PA·AC23＝，

3PA2＋AC2233AH3∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，

AB23即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为命题点2

与垂直有关的探索性问题

例4 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2. 3. 3

(1)求证：C1E∥平面ADF；

(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF. (1)证明

连接CE交AD于O，连接OF.

因为CE，AD为△ABC的中线，

则O为△ABC的重心，

CFCO2故＝＝，故OF∥C1E，

CC1CE3因为OF⊂平面ADF，C1E⊄平面ADF，

所以C1E∥平面ADF. (2)解

当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF. 证明如下：因为AB＝AC，AD⊂平面ABC，

故AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，

故平面B1BCC1⊥平面ABC. 又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，

所以AD⊥平面B1BCC1，

又CM⊂平面B1BCC1，

故AD⊥CM. 又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，

故Rt△CBM≌Rt△FCD. 易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD⊂平面ADF，

故CM⊥平面ADF. 又CM⊂平面CAM，

故平面CAM⊥平面ADF. 思维升华

对命题条件的探索的三种途径

途径一：先猜后证．

途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．

途径三：将几何问题转化为代数问题．

跟踪训练3 如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.

(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；

(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由．

(1)证明

连接BD交AC于点O，则BD⊥AC. 设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD，

连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，

所以四边形FMNG为平行四边形，

所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC. 由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD.

所以FG⊥AE，

又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE，

所以FG⊥平面ACE. 又FG⊂平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE. (2)解

存在．设平面ACE交FG于Q，

则Q为FG的中点，

连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH，

由已知易知，平面EFG∥平面ABCD，

又平面ACE∩平面EFG＝EQ，

平面ACE∩平面ABCD＝AC，

所以CH∥EQ，

又CH＝EQ＝22，

所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，

又CQ⊂平面CFG，EH⊄平面CFG，

所以EH∥平面CFG，

所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，

且CH＝22.

1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(

) A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

答案

C 解析

因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l. 2．(2019·宁波模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是(

A．若l∥m，则必有α∥β

B．若l⊥m，则必有α⊥β

C．若l⊥β，则必有α⊥β

D．若α⊥β，则必有m⊥α

答案

C 解析

对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；

对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误；

对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β.所以选项C正确；

)

对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误．

3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(

)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

答案

C 解析

因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE. 4．(2019·昆明适应性检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则(

) A．MN∥C1D1

C．MN⊥平面ACD1

答案

D 解析

对于选项A，因为M，N分别是BC1，CD1的中点，所以点N∈平面CDD1C1，点M∉平面CDD1C1，所以直线MN是与平面CDD1C1相交的直线，

又因为直线C1D1在平面CDD1C1内，故直线MN与直线C1D1不可能平行，故选项A错；

对于选项B，正方体中易知NB≠NC1，因为点M是BC1的中点，所以直线MN

与直线BC1不垂直，故选项B不对；

对于选项C，假设MN⊥平面ACD1，可得MN⊥CD1，因为N是CD1的中点，

所以MC＝MD1，这与MC≠MD1矛盾，故假设不成立，所以选项C不对；

对于选项D，分别取B1C1，C1D1的中点P，Q，连接PM，QN，PQ. 因为点M是BC1的中点，

1所以PM∥CC1且PM＝CC1. 21同理QN∥CC1且QN＝CC1. 2所以PM∥QN且PM＝QN，

所以四边形PQNM为平行四边形．

所以PQ∥MN. 在正方体中，CC1⊥PQ，PQ⊥AC，

因为AC∩CC1＝C，AC⊂平面ACC1，CC1⊂平面ACC1，

所以PQ⊥平面ACC1. B．MN⊥BC1

D．MN⊥平面ACC1

因为PQ∥MN，所以MN⊥平面ACC1. 故选项D正确．

95．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形，若P4为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(

) A.5π

12πB.

3πD.

6πC.

4答案

B 解析

如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，

则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．

因为底面边长为3，

所以AD＝3×33223＝，AO＝AD＝×＝1. 22332

三棱柱的体积为

39×(3)2AA1＝，

44解得AA1＝3，

即OP＝AA1＝3，

所以tan∠PAO＝OP＝3，

OAπ0，，

因为直线与平面所成角的范围是2π所以∠PAO＝. 36.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

答案

4 解析

∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，

得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．

7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．

答案

AB

解析

∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，

∴AC⊥平面ABC1. 又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC. ∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．

8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_______时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

答案

DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析

∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．

答案

1

3解析

连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．

因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝22，

又AA1＝1，所以AC1＝3，

所以sin∠AC1A1＝AA11＝. AC1310.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________．

答案

25

5解析

点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝2×122＋1＝225. 511.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.

(1)求证：AB∥EF；

(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 证明

(1)因为四边形ABCD是矩形，

所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，

所以AB∥平面PDC，

又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，

所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形，

所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，

所以AB⊥AF. 又AB⊥AD，

由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，

所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面ABCD，

所以平面PAD⊥平面ABCD. 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝3，AD＝CD＝1，∠ADC＝1120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB. 4

(1)证明：MN∥平面PDC；

(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．

(1)证明

因为AB＝BC，AD＝CD，

所以BD垂直平分线段AC. 又∠ADC＝120°，

113所以MD＝AD＝，AM＝. 222所以AC＝3. 又AB＝BC＝3，

所以△ABC是等边三角形，

3BM所以BM＝，所以＝3，

2MD1又因为PN＝PB，

4BMBN所以＝＝3，

MDNP所以MN∥PD. 又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，

所以MN∥平面PDC. (2)解

因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥PA，

又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC. 由(1)知MN∥PD，

所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，

故∠DPM即为所求的角．

在Rt△PAD中，PD＝2，

1DM21所以sin∠DPM＝＝＝，

DP24

1所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为. 4

13．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有(

)

A．AG⊥平面EFH

C．HF⊥平面AEF

答案

B 解析

根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，

∴AH⊥平面EFH，B正确；

∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；

∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，

∴EF⊥平面HAG，

又EF⊂平面AEF，

∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；

由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B. 14．(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(

) A.C.33

423B.

3D.3

2B．AH⊥平面EFH

D．HG⊥平面AEF

32

4答案

A 解析

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．

取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在12233平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin 60°＝. 2224故选A.

15.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；

④在折起过程中，一定不会有EC⊥AD. 答案

①②

解析

由已知，在未折叠的原梯形中，

易知四边形ABCE为矩形，

所以AB＝EC，所以AB＝DE，

又AB∥DE，

所以四边形ABED为平行四边形，

所以BE＝AD，折叠后如图所示．

①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP. 因为M，N分别是AD，BE的中点，

所以点P为AE的中点，故NP∥EC. 又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，

所以平面MNP∥平面DEC，

故MN∥平面DEC，①正确；

②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，

所以AE⊥MP，AE⊥NP，

又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，

又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；

③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，

从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，

与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；

④当EC⊥ED时，EC⊥AD. 因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，

所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，

所以EC⊥AD，④不正确．

16.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC的中点．

(1)求证：FM∥平面BDE；

(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．

(1)证明

取BD的中点O，连接OM，OE，

因为O，M分别为BD，BC的中点，

1所以OM∥CD，且OM＝CD. 2因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，

又EF∥AB，所以CD∥EF，

又AB＝CD＝2EF，

1所以EF＝CD，

2所以OM∥EF，且OM＝EF，

所以四边形OMFE为平行四边形，

所以MF∥OE. 又OE⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，

所以MF∥平面BDE. (2)解

由(1)得FM∥平面BDE，

所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离．

取AD的中点H，连接EH，BH，

因为EA＝ED，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，

所以EH⊥AD，BH⊥AD. 因为平面ADE⊥平面ABCD，

平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH⊂平面ADE，

所以EH⊥平面ABCD，所以EH⊥BH，

易得EH＝BH＝3，所以BE＝6，

1所以S△BDE＝×6×222－1562＝. 22设点F到平面BDE的距离为h，

1133连接DM，则S△BDM＝S△BCD＝××4＝，

2242连接EM，由V三棱锥E－BDM＝V三棱锥M－BDE，

13115得×3×＝×h×，

3232解得h＝15，

515. 5即点F到平面BDE的距离为